Контрольная работа по "Высшей математике"

В задачах 1-20 решить дифференциальные уравнения.

5. а) [pic 1] 

Решение. Заменим [pic 2], после чего умножим обе части уравнения на dx, получим

[pic 3].

Полученное выражение является уравнением с разделяющимися переменными, так как имеет вид [pic 4]. Разделим переменные, умножив обе части уравнения на разделяющий множитель [pic 5] (при [pic 6], [pic 7]):

[pic 8].

 Интегрируя обе части последнего уравнения, найдем общее решение:

[pic 9]

[pic 10].

Так как в процессе решения производилось деление на y + 1, то необходимо проверить, является ли функция y + 1 = 0 или y = −1 решением уравнения. Подставив y = −1 в исходное уравнение, получаем

[pic 11].

Получено верное равенство, значит, y = −1 является частным решением уравнения. Так как частное решение y = −1  может быть получено из общего решения при C = 0, то особым решением оно не является.

Ответ: [pic 12].

б) [pic 13]

Решение. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения [pic 14]. Характеристическое уравнение [pic 15] имеет кратные корни k1,2 = −3, , тогда [pic 16] [pic 17].

Правая часть данного уравнения имеет вид [pic 18],  так как число [pic 19] является корнем характеристического уравнения кратности 2, тогда частное решение будем искать в виде [pic 20]. Найдем [pic 21], [pic 22] и подставим в левую часть данного уравнения.

[pic 23];

[pic 24];

[pic 25];

или разделив обе части равенства на [pic 26] и преобразовав полученное выражение, получим

[pic 27];

[pic 28].

Отсюда: [pic 29]. Следовательно, частное решение [pic 30], а общее решение неоднородного уравнения:

[pic 31].

Далее, воспользовавшись условием Коши: y(0) = 1 и y′(0) = −3, найдем
его частное решение. Для этого необходимо вычислить[pic 32]:

[pic 33]

[pic 34].

Подставим в [pic 35] и [pic 36] начальные значения: x = 0, y = 1 и y′ = −3, получим систему, из которой определим С1 и С2.

[pic 37]

[pic 38]

Таким образом, искомое частное решение данного уравнения имеет вид: [pic 39] .

Ответ: [pic 40].

В задачах 21-40 найти вероятности указанных событий, используя формулы повторных независимых испытаний.

25. При данном технологическом процессе в среднем 98% изделий не имеет дефектов. Определить вероятность того, что среди 10 тыс. выбранных наугад и проверенных изделий, дефектными окажутся 207 изделий.

Решение: По условию задачи: n = 10000 > 10 (велико); p = 1 − 0,98 =    = 0,02 (мало); k = 207. Так как npq = 10000 ⋅ 0,02 ⋅ 0,98 = 196 > 10, то выполнено условие локальной теореме Лапласа.

[pic 41],

где [pic 42], ϕ(x) – чётна, ϕ (–x) = ϕ (x).

Для начала найдём:

 [pic 43].

По таблице значений функции ϕ(x) определяем ϕ(0,5) = 0,3521, тогда

[pic 44].

Ответ:  вероятность того, что среди 10 тыс. выбранных наугад и проверенных изделий, дефектными окажутся 207 изделий равна 0,025.

Задачи 41-60. Участок электрической цепи состоит из элементов, соединенных по указанной схеме. Выход из строя за время Т различных элементов системы – независимые события, имеющие вероятности, приведенные в таблице. Вычислить вероятность отказа от работы системы за указанный промежуток времени.