Контрольная работа по "Высшей математике"

         Министерство образования Российской Федерации[pic 1]

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Очный факультет

(дистанционная форма обучения)

Контрольная работа № 2

по дисциплине

Высшая математика-1

(авторы учебного пособия: Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников)

Вариант 2.5

    Подпись преподавателя____________  

2003 г.

Вариант 2.5.  

1(Д01.РП). Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку M(1, 4) параллельно прямой 2x + 3y + 5 = 0.

Решение. Точка M[pic 2], N = (A, B),

[pic 3] - общее уравнение прямой.

В качестве вектора нормали можно принять вектор N = (2, 3) и записать искомое уравнение [pic 4], или [pic 5].

Ответ. [pic 6].

2(3А2.РП). Найдите координаты проекции точки M (3, 6) на прямую x + 2y – 10 = 0.

Решение. Пусть точка S – проекция точки M на данную прямую, можно найти как точку пересечения прямой x + 2y – 10 = 0 и прямой MS (рис.1), перпендикулярной к данной и проходящей через точку M. Прямая MS параллельна вектору N[pic 7](1, 2) – нормали прямой   x + 2y – 10 = 0. В качестве вектора нормали прямой MS можно принять вектор N[pic 8](-2, 1), а потому уравнение прямой MS имеет вид    

  [pic 9], или  – 2x + y = 0. Для отыскания координат точки S мы получим систему [pic 10] решая которую,                находим  x = 2,  y = 4.

[pic 11]

Ответ. (2, 4).

3(103.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки           M[pic 12]([pic 13]),  M[pic 14]([pic 15]),  M[pic 16]([pic 17]).

Решение. Данная плоскость параллельна векторам I[pic 18] и I[pic 19]. Поэтому в качестве вектора нормали можно взять вектор                 N = [I[pic 20],I[pic 21]] = [pic 22].  Разложим этот определитель по первой строке:  

N =[pic 23][pic 24], то есть N = (1,–1,– 4). Записываем уравнение плоскости  x – y – 4z + D = 0. Для определения D используем условие, что, плоскость проходит через точку M[pic 25]([pic 26]):  –6 – 1 + 20 + D = 0, D = –13. Уравнение x – y – 4z – 13 = 0 является искомым.

[pic 27]([pic 28]): 7 + 2 + 4 + D = 0, D = –13.

[pic 29]([pic 30]): 10 + 7 – 4 +D = 0, D = –13.

Следовательно, точки M[pic 31] и M[pic 32] также лежат в этой плоскости.

Ответ. x – y – 4z – 13 = 0.

4(203). Известно, что прямая [pic 33] параллельна вектору I = (0, 9, 12). Найдите длину отрезка этой прямой между плоскостями x + y +z – 3 = 0 и x + y + z – 24 = 0.

Решение. Уравнение прямой [pic 34], параллельной вектору I = (0, 9, 12) будет [pic 35]. Прямая [pic 36] пересекается с плоскостью x + y +z – 3 = 0, так как [pic 37] и с плоскостью x + y + z – 24 = 0, так как [pic 38].

Найдем точку пересечения прямой [pic 39] с плоскостями

x + y +z – 3 = 0 и x + y + z – 24 = 0. Для этого сначала запишем уравнение прямой [pic 40] в параметрической форме [pic 41], [pic 42], [pic 43], отсюда [pic 44], [pic 45], [pic 46]. Полученные значения подставляем сначала в уравнение плоскости                       x + y +z – 3 = 0, а затем в уравнение плоскости x + y + z – 24 = 0 и находим значение параметра t.

[pic 47] + [pic 48] + [pic 49] – 3 = 0,

21t – 3 = 0   [pic 50]   [pic 51].

Следовательно, точка пересечения прямой [pic 52] с плоскостью x + y +z – 3 = 0 будет иметь координаты

[pic 53]   [pic 54]  [pic 55],  

а точка пересечения прямой [pic 56] с плоскостью x + y + z – 24 = 0 имеет координаты

[pic 57] + [pic 58] + [pic 59] – 3 = 0 [pic 60] [pic 61]     [pic 62] [pic 63]  [pic 64],

тогда длина отрезка прямой [pic 65] [pic 66] между плоскостями

x + y +z – 3 = 0 и x + y + z – 24 = 0 есть длина отрезка между точками A и B,