Контрольная работа по "Векторная алгебра"

Вариант № 4

2. Определить координаты точки [pic 1] на отрезке [pic 2], если

[pic 3] и [pic 4]

Решение:

Обозначим координаты точки С {xc ; yс ; zc} и найдём длины вектора [pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Так как все точки лежат на одной прямой, то составленные векторы являются коллинеарными и, согласно известному отношению, в котором точка делит отрезок получаем:
[pic 10]

[pic 11]

Составим систему линейных уравнений и найдем координаты точки С:

=>=>=> [pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

3. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах

[pic 16] и [pic 17], если [pic 18]

Решение

[pic 19]

Из треугольника ABC имеем:

[pic 20]

Зная длину векторов  и угол между этими векторами, можно найти длину вектора  по теореме косинусов:[pic 21][pic 22]

[pic 23]

Из треугольника BAD имеем:

[pic 24]

[pic 25]

4. Даны три вершины параллелограмма [pic 26]:

[pic 27], [pic 28], [pic 29].

Определить:

a) координаты четвертой вершины [pic 30]

б) длину высоты, опущенной из вершины [pic 31] на сторону [pic 32]

в) косинус острого угла между диагоналями [pic 33] и [pic 34].

Решение

[pic 35]

а) Координаты вершины D можно найти как координаты конца вектора , который, согласно правилу сложения векторов равен:[pic 36]

 [pic 37]

[pic 38]

 [pic 39]

Обозначим точку  тогда:[pic 40]

[pic 41]

Следовательно,

[pic 42]

=>=> [pic 43][pic 44][pic 45]

б) Находим длину высоты через площадь параллелограмма:

с одной стороны,

[pic 46]

с другой стороны,

[pic 47]

Таким образом:

=>[pic 48][pic 49]

в) Находим косинус угла между диагоналями. Для этого воспользуемся формулой косинуса угла между векторами [pic 50]