Дифференциалдық теңдеулер туралы түсінік

1-ТАРАУ

КІРІСПЕ 
§1. Дифференциалдық теңдеулер туралы түсінік

Бұл кітапта дифференциалдық теңдеулер қарастырылады, яғни белгісіз функцияның, оның туындылары мен тәуелсіз айнымалы арасындағы қатынастар. Көптеген тәуелсіз айнымалыларға қатысты туындыларды қамтитын теңдеулер дербес туындылы теңдеулер деп аталады. Тәуелсіз айнымалылардың тек біреуінің туындыларын қамтитын теңдеулер жай дифференциалдық теңдеулер деп аталады. Жай дифференциалдық теңдеулерді шешудің қасиеттері мен әдістерін зерттеу осы кітаптың негізгі мазмұны, тек соңғы тарау дербес туындылы теңдеулер класына арналған. 
Туынды жай дифференциалдық теңдеуге кіретін тәуелсіз айнымалылар әдетте х әрпімен (немесе t әріппен, себебі көптеген жағдайларда уақыт тәуелсіз айнымалы рөл атқарады) белгісіз функция y(x) арқылы белгіленеді.  

Жай дифференциал теңдеуді келесі қатынасы ретінде жазуға болады.

                                                                                       (1.1)[pic 1]

Белгісіз функциядан басқа, тәуелсіз айнымалы x және ең тәуелсіз айнымалы x теңдеуіне қатысты (1.1) теңдеуінде қосымша айнымалы  мәндерді қамтуы мүмкін. Бұл жағдайда, олар белгісіз функция айнымалы  параметрлеріне байланысты. [pic 2][pic 3]

Теңдеулерде (1.1) ең жоғары туындылардың реті реттік теңдеу деп аталады. Бірінші реттік теңдеу

                                                                                                    (1.2)[pic 4]

түрінде жазылады және үш айнымалыны біріктіреді - белгісіз функция, оның туындысы және тәуелсіз айнымалы. Көбінесе бұл қатынастар келесідей жазылады.

                                                                                                        (1.3)[pic 5]

(1.3) теңдеуі бірінші ретті туындылы теңдеу деп аталады, туындыға қатысты шешіледі. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер теориясын (1.3) теңдеуінен бастаймыз.

Бір белгісіз функция үшін дифференциалдық теңдеулермен қатар қарапайым дифференциалдық теңдеулер теориясы (1.1) - (1.3)  теңдеулер жүйесі ретінде қарастырылады. Туындыға қатысты рұқсат етілген бірінші реттік теңдеулер жүйесі қалыпты жүйе деп аталады.

                                                                  (1.4)[pic 6]

Векторлық функцияларды енгізу арқылы

[pic 7]

(1.4)  жүйеcін векторлық түрде жаза аламыз

                                                                                                        (1.5)[pic 8]

ең жоғары туындыға қатысты шешілген (1.1) n ретті теңдеуі

                                                                                (1.6)[pic 9]

керекті жүйеге дейін азайтылуы мүмкін екенін көруге болады. Шынында да, белгілерді енгізейік

                                (1.7)[pic 10]

Онда, анық теңдікке байланысты  (1.6) қалыпты жүйені байланыстыра аламыз[pic 11]

                                                                                         (1.8)[pic 12]

(1.1) - (1.5) теңдеулер тәуелсіз айнымалы болып саналады. Белгісіз функциялар айнымалының нақты және күрделі функциялары бола алады. Әлбетте, егер , онда  және  -  функциясының нақты және саналы бөліктері, (1.3) теңдеуі нақты функция үшін қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесіне эквивалентті: [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17]

Шешімі (1.4) дифференциалдық теңдеулер жүйесі әртүрлі функциялар жиынтығы  деп аталады, яғни теңдеулерді тұжырымдаған кезде оларды cәйкестікке айналдырады. [pic 18]

Әдетте, келесі мысалдардан көрініп тұрғандай (§2 қараңыз), егер дифференциалдық теңдеу шешілетін болса, онда ол шешілмеген көптеген шешімдерге ие болады. Шешімдерді іздеу процесі дифференциалдық теңдеуді интегралдау деп аталады.

Әдетте (1.4) жүйенің оң жақ бөлігі қарастырылады,  D облысының кейбір жерінде үзіліссіз белгісіз  функциясы және тәуелсіз х айнымалысы өзгереді. Әрине, бұл жағдайда   шешімі дифференциалдық функцияда үзіліссіз болады. Дегенмен, қосымшаларда кейде теңдеулермен жұмыс жасау қажет, оң жағында алшақтық (мысалы, соққы жүктемелерін сипаттау кезінде, бірден қолданбалы күштер және т.б.) сондықтан оның шешімдерінде туынды бойынша айырмашылық болады. Сонда (1.4) шешімі  үзіліссіз функциялары ретінде үздіксіз туындылармен қарастыруға болады. Теңдеулермен алмастырылған кезде олар туынды құралдардың үзіліс (немесе болмауы) нүктелерін қоспағанда, барлық жерде сараланған. Мұндай шешім жалпы шешім деп аталады. (1.4) жүйенің кез келген шешімі  геометриялық түрде  айнымалылардың (n + 1) - өлшемді кеңістігінде түсіндірілуі мүмкін, онда ол интегралдық қисық деп аталады.  кеңістіктегі айнымалы фазалық кеңістік деп аталады, ал фазалық кеңістіктегі интегралдық қисық сызық фазалық траектория деп аталады. (1.4) теңдеуде D облысының әрбір нүктесі  векторының анықталған бағытын анықтайды. Әрбір нүктенің бағыттында орнатылған кеңістік ауданның бағыты деп аталады. (1.4) интегралдық теңдеулер жүйесі [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]