Дифференциалдық теңдеулер

  ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫ¬ ТЕ­ДЕУЛЕР

                      1. Бiрiншi  реттi дифôеренциалды¶  теєдеулер

1. Негiзгi Ѕµымдар. Тґуелсiз айнымалы x-тi, iзделiндi  функция  y=y(x) пен  оныє туындыларын байланыстыратын теєдеудi  жай дифференциалды¶ теєдеу дейдi. Дифференциалды¶ теєдеуге енетiн туындыныє еє жоµары ретií  òåºäåóäiº  ретi деï àòàéäû.

        Бiрiншi реттi дифференциалды¶ теєдеудi жалпы тѕрде

                                           (1)

жазады.    (1) теєдеу туындыµа салыстыра шешiлетiн болса, ол былай жазылады:  

                                .                    (2)

Дифференциалды¶ теєдеудi тепе-теєдiкке айналдыратын кез келген        функцияны, оныє шешiмi деп атайды. Егер

функциясы, тЅра¶ты   -ныє  кез келген мґнiнде  (1) теєдеудi  ¶анаµаттàндыратын болса, онда бЅл шешiмдi (1) теєдеудiє жалпы шешiмi дейдi.

   болµанда iзделiндi функцияныє   мґнi берiлсе, бЅл шартты бастап¶ы шарт деп, оны былай жазады:

                  ,   немесе          .

        Теєдеудiє шешiмiн аны¶тау процесiн теєдеудi интегралдау деп атайды.

 Теєдеудiє  жалпы шешiмi       тѕрiнде берiлсе, оны теєдеудiє жалпы интегралы дейдi.

        Ал,  теєдеу шешiмiнiє графигiн интегралды¶ ¶исы¶ деп атайды.

        Коши теоремасы. Егер    функциясы мен  оныє дербес туындысы       Оxy  жазы¶тыµыныє белгiлi бiр облысында аны¶талµан жґне  ѕзiлiссiз болса, онда бЅл облыстыє ¶андай да  бiр iшкi нѕктесi       -дiє  кейбiр тјєiрегiнде (2) теєдеудiє       бастап¶ы  шартты ¶анаµаттандыратын жалµыз шешiмi  бар болады.

        БЅл теорема  (2)  теєдеуi берiлсе,  оныє шешiмi бар жґне ол жалµыз  µана болатынын  бiлу  мѕмкiндiгiн кјрсетедi. Теореманыє геометриялы¶ маµынасы:  D облысыныє  ґрбiр iшкi нѕктесi ар¶ылы  жалµыз µана  интегралды¶ ¶исы¶ јтедi.

        Бастап¶ы шартты ¶анаµаттандыратын теєдеудiє шешiмiн iздеу есебiн Коши  есебi дейдi.

        ТЅра¶ты   С-ныє  аны¶талынµан белгiлi бiр мґнiнде жалпы шешiмнен алынатын шешiм  (2)   теєдеудiє дербес шешiмi  делiнедi.

2. Теєдеудiє геометриялы¶ маµынасы.

 дифференциалды¶  теєдеуi берiлсiн жґне оныє шешiмi  болсын.   шешiмiнiє графигi,   ґрбiр нѕктесi ар¶ылы  жанама жѕргiзуге болатын ѕзiлiссiз интегралды¶ ¶исы¶ты кескiндейдi. Интегралды¶ ¶исы¶тыє кез келген    нѕктесiнде жѕргiзiлген жанаманыє бЅрышты¶ коэффициентi      мґнiне теє. Сонды¶тан,   (2)  теєдеуi    (x,y)   нѕктесiнiє  координаттары мен  бЅл нѕктедегi интегралды¶ ¶исы¶ графигiне жанаманыє бЅрышты¶ коэффициентi     -нiє  арасындаµы  тґуелдiлiктi таµайындайды.  x   пен  y   белгiлi болса,   (x,y) нѕктесiнде интегралды¶ ¶исы¶ жанамаcыныє  баµытын кјрсетуге   болады. Осындай нѕктелердiє геометриялы¶ жиынын  “ тЅра¶ты сына”  деп атайды.

         Интегралды¶ ¶исы¶тыє  ґрбiр    (x,y)    нѕктесiне бЅрышты¶ коэффициентi        мґнiне теє баµытталµан кесiндiнi орналастырса¶, берiлген теєдеудiє баµыттар јрiсiн аламыз.

        Сонымен,      теєдеуi   Оxy   жазы¶тыµында  баµыттар јрiсiн аны¶тайды, ал оныє шешiмi ґрбiр нѕктедегi жанама баµыты  осы нѕктедегi јрiс баµытымен дґл келетiн интегралды¶ ¶исы¶ болады екен.

        Берiлген теєдеудiє баµыттар јрiсiн жазы¶ты¶та ¶Ѕру ар¶ылы  интегралды¶ ¶исы¶тарды жуы¶ шамамен кескiндеу мѕмкiн болады. Бѕл ґдiс “тЅра¶ты сына” ґдiсi делiнедi.

3. Айнымалылары ажыратылатын теєдеулер. , немесе   тѕрiндегi  теєдеудi  аéнымалылары ажыратылатын теєдеу деп атайды.

Шынында, теєдеудiє аéнымалыларын ажыратуµа болады:

    немесе      .

БЅл теєдеудiє жалпы шешiмi:       ,

немесе   тѕрiнде жазылады.

Егер айнымалыларû ажыратылатын теєдеулерде       жґне     болса, онда   ажырату нґтижесiнде дифференциалды¶ теєдеудiє     жґне  шешiмдерi  жоµалуы мѕмкiн. Сонды¶тан  теєдеудi айнымалыларды ажырату  ґдiсiмен  шешуде  кјрсетiлген шешiмдер  жалпы шешiмнiє   ¶Ѕрамына  енетiнiн тексеру керек. Егер ол шешiмдер енбесе, онда оларды теєдеудiє  жалпы шешiмiнiє ¶Ѕрамына  енгiзу керек.