Жоғары ретті коэффициенттері тұрақты сызықты біртекті болмаған дифференциалдық теңдеулер

Лекция №11. Жоғары ретті коэффициенттері тұрақты сызықты біртекті болмаған дифференциалдық теңдеулер.

[pic 1],                        (1)

[pic 2] - тұрақты коэффициентті дифференцалдық теңдеу берілсін.

Мұндағы [pic 3] берілген [pic 4] аралығында үзіліссіз функция.

Теорема. Біртексіз (1) теңдеудің жалпы шешімі оған сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі мен біртексіз теңдеудің дербес шешімінің қосындысына тең.

[pic 5]

[pic 6]- тұрақты коэффициентті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеудің сипаттауыш (характеристикалық) теңдеуінің шешімі арқылы табылады.

[pic 7]-дербес шешімді қарастырайық:

І.  Айталық теңдеудің оң жағы көпмүшелік болсын:

[pic 8]                (2)

1)  0-саны характеристикалық теңдеудің түбірі болмасын, онда (1) теңдеудің дербес шешімін анықталмаған коэффициенттер әдісімен төмендегі түрде іздейміз:

[pic 9]                        (3)

2) 0-саны характеристикалық теңдеудің [pic 10]-еселі түбірі болсын, онда (1) теңдеудің дербес шешімін төмендегі түрде іздейміз:

[pic 11]                        (4)

Мұндағы [pic 12]-белгісіз тұрақтылар.

Ізделінді дербес шешімдерден [pic 13]-рет туынды алып теңдеуге апарып қоямыз. Теңдеудің екі жағында пайда болған көпмүшеліктердің коэффициенттерін белгісіз коэффициенттер әдісімен теңестіре отырып [pic 14] коэффициенттері үшін алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз, оны шешу арқылы дербес шешімді табамыз.

Мысал-1.

        [pic 15]  теңдеуінің жалпы шешімін табайық:

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Характеристикалық теңдеудің түбірінде 0 саны болмағандықтан дербес шешімді төмендегі түрде іздейміз:

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Табылған барлық туындылардың мәнін теңдеуге апарып қоямыз:

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

Табылған белгісіз коэффициенттердің мәнін дербес шешімдегі орындарына апарып қоямыз:

[pic 30]

[pic 31]

Мысал-2.

        [pic 32]  теңдеуінің жалпы шешімін табайық:

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Характеристикалық теңдеудің екі түбірі 0-ге  тең болғандықтан дербес шешімді төмендегі түрде іздейміз:

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

Табылған барлық туындылардың мәнін теңдеуге апарып қоямыз:

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

Табылған белгісіз коэффициенттердің мәнін дербес шешімдегі орындарына апарып қоямыз:

[pic 47]

[pic 48]

ІІ.  Айталық теңдеудің оң жағы

[pic 49]                (5)

түрінде болсын:

1)  [pic 50]-саны характеристикалық теңдеудің түбірі болмасын, онда (1) теңдеудің дербес шешімін төмендегі түрде іздейміз:

[pic 51]                        (6)

2) [pic 52]-саны характеристикалық теңдеудің [pic 53]-еселі түбірі болсын, онда (1) теңдеудің дербес шешімін төмендегі түрде іздейміз:

[pic 54]                        (7)

Мысал-3.

        [pic 55]  теңдеуінің жалпы шешімін табайық:

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

Характеристикалық теңдеудің түбірінде [pic 63] саны болмағандықтан дербес шешімді төмендегі түрде іздейміз:

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

Табылған барлық туындылардың мәнін теңдеуге апарып қоямыз: