Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер

1. Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер

Коэффициенттері біртекті функциялар болатын біртекті теңдеуді қарастырайық

[pic 1]                                    (1.38),

мұнда

                                 [pic 2],

                                 [pic 3]

яғни, [pic 4] және [pic 5] функциялары бірдей m өлшемді х пен у айнымалылары бойынша біртекті функциялар. Анықтама бойынша егер [pic 6] функциясы үшін [pic 7] теңдігі орындалса, онда ол n өлшемді біртекті функция  деп аталады.

Мысалы,  [pic 8] функциясы берілген. Бұл ауыстыру үшін [pic 9] теңдігі орындалады және [pic 10], ол үш өлшемді біртекті функция.

Енді (1.38) теңдеуді мына түрде жазайық

[pic 11]                                        (1.39)

мұндағы,  [pic 12] және [pic 13] теңдігі орындалады. Шынында да

[pic 14]

Егер, [pic 15] деп алсақ, онда  [pic 16]. Олай болса (1.39) теңдеуді былай жазуға болады

[pic 17]                                    (1.40)

Осы (1.40) теңдеуден координаталар бас нүктесі арқылы біртекті теңдеудің бірде - бір интегралдық қисығы өтпейтіндігі байқалады. Интегралдық қисықтар бас нүктеге тек қана тірелетін болады.

Мынадай ауыстыру енгізейік

[pic 18] немесе [pic 19]                                   (1.41)

мұндағы [pic 20]- белгісіз функция. Осы ауыстыруды (1.38) теңдеуге қолданайық.  Сонда

[pic 21]                          (1.42),

теңдігі алынады. Енді біртектілік шартын пайдаланайық

[pic 22]

немесе

[pic 23]

Сонда (1.42) теңдеуді былай жазуға болады

[pic 24]

немесе

[pic 25]

Бұл айнымалылары бөлінетін теңдеу болғандықтан [pic 26] теңдігін жазамыз. Интегралдаудан кейін [pic 27] түріндегі шешім алынады. Мұндағы  [pic 28].

Енді z-ті [pic 29]пен ауыстырып (1.38) теңдеудің жалпы интегралын мына түрде  жазамыз

[pic 30].                                             (1.43)

1.18-мысал [pic 31] теңдеуінің шешімін табу керек.

Шешуі Берілген теңдеуді біртекті теңдеу түріне келтіруге болады  [pic 32], әрі қарай  [pic 33] ауыстыруын қолданамыз. Осыдан [pic 34]  және  [pic 35]. Сонда  [pic 36] және  [pic 37]. Айнымалыларды бөліп интегралдаймыз:  [pic 38], [pic 39]  немесе  [pic 40]. Нәтижесінде  z-тің орнына қойып, [pic 41] шешімін аламыз.

1.5 Біртекті теңдеуге келтірілетін дифференциалдық

 теңдеулер

Төмендегі түрде берілген  теңдеуді қарастырайық

[pic 42]                                       (1.44)

Егер с1=c2=0 болса, бұл біртекті теңдеу болады да (1.40) теңдеу түріне келтіріледі.

Енді с1 және с2 сандарының ең болмағанда біреуі нөлге тең болмасын дейік және  [pic 43] деп ұйғарайық. Айнымалаларды ауыстыру қолданайық

[pic 44]                                    (1.45),

сонда (1.44) теңдеу былай жазылады

[pic 45],

Әрі қарай  [pic 46]мен [pic 47]-ны

[pic 48]                                    (1.46)

жүйесін қанағаттандыратындай етіп алайық.  Сонда