Гипотеза о законе распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона

13. Гипотеза о законе распределения генеральной совокупности.
Критерий согласия Пирсона

Итак, после разгрома двух десятков задач ставим вишенку на торт статистических гипотез, а именно разбираем важнейшую гипотезу о виде (законе) распределения и распространённые тематические примеры.

Рассмотрим генеральную совокупность, распределение которой неизвестно.  Однако есть основание полагать, что она распределена по некоторому закону [pic 1] (чаще всего, нормально). Это предположение может появиться как до, так и в результате статистического исследования, когда мы извлекли и изучили выборку объёма [pic 2].

И нам требуется на уровне значимости [pic 3] проверить нулевую гипотезу [pic 4] – о том, что генеральная совокупность распределена по закону [pic 5]против  конкурирующей гипотезы [pic 6] о том, что она по нему НЕ распределена. 

Как проверить эту гипотезу? Постараюсь объяснить кратко. Как вы знаете, выборочные данные группируются в дискретный или интервальный вариационный ряд с вариантами  [pic 7] и соответствующими частотами [pic 8]
[pic 9]

Поскольку эти данные взяты из практического опыта, то выборочный вариационный ряд называют эмпирическим рядом, а частоты [pic 10] – эмпирическими частотами.

Далее строятся графики, рассчитываются выборочные характеристики (выборочная средняя [pic 11], выборочная дисперсия [pic 12] и другие), словом, выполняются все те хорошие дела, которыми мы занимались на протяжении многих уроков.

На основе некоторых выборочных характеристик по специальным формулам, которые зависят от проверяемого закона [pic 13], строится теоретическое распределение, где для тех же вариант [pic 14] рассчитываются теоретические частоты [pic 15].

И возникает вопрос: значимо или незначимо различие между эмпирическими [pic 16] и соответствующими теоретическими [pic 17] частотами?

Для ответа на это вопрос рассматривают различные статистические критерии, которые называют критериями согласия, и наиболее популярный из них разработал Карл Пирсон: [pic 18]

При достаточно большом [pic 19] (объёме выборки) распределение этой случайной величины близкО к распределению хи-квадрат с количеством степеней свободы [pic 20], где [pic 21] – количество оцениваемых параметров закона [pic 22].

…всем понятно, почему величина [pic 23] случайная? – по той причине, что в разных выборках мы будем получать разные, заранее непредсказуемые эмпирические частоты.

Далее строится правосторонняя критическая область:
[pic 24]

Критическое значение [pic 25] можно отыскать с помощью соответствующей таблицы или Экселя (Пункт 11б).

Наблюдаемое значение критерия рассчитывается по эмпирическим и найденным теоретическим частотам:
[pic 26]

Если [pic 27], то на уровне значимости [pic 28] нет оснований отвергать гипотезу [pic 29] о том, что генеральная совокупность распределена по закону [pic 30]. То есть, различие между эмпирическими и теоретическими частотами незначимо и обусловлено случайными факторами (случайностью самой выборки, способом группировки данных и т.д.)