Законы распределения случайных величин

Страницы 83-97

3.3.5. Законы распределения случайных величин

Законы распределения отказов, являющихся случайными величинами, имеют большое

значение для теории и практики работ по обеспечению надежности изделий. Знание этих законов позволяет рассчитывать и прогнозировать надежность изделий на этапах их проектирования и испытаний; особенно большое значение эти законы имеют при оценке правильности установления и продления ресурса изделий.

Из большого разнообразия законов распределения случайных величин, разработанных в теории вероятностей, наибольшее значение для надежности имеют биномиальный и Пуассона — для дискретных величин; экспоненциальный, Вейбулла и нормальный — для непрерывных величин. Кроме того, используются два вспомогательных закона — хи-квадрат и гамма-распределения. Д л я сложных и многофункциональных распределений применяются композиции указанных законов распределения и усеченные законы распределения.

Применение того или иного закона распределения обусловлено характеристиками проявления и изменения отказов изделий во времени. Для большинства механических, гидравлических и электрических устройств практически невозможно выделить только внезапные или только постепенные отказы. Встречаются различные сочетания обоих типов отказов, и поэтому применительно к каждому конкретному изделию путем анализа экспериментальных данных приходится оценивать их соответствие теоретическому закону распределения отказов. При этом необходимо отметить, что применение для авиационных изделий экспоненциального закона распределения, действительного для внезапных отказов, требует специального обоснования и может быть допущено для сравнительно коротких отрезков времени, равных продолжительности одного полета.

Рассмотрим основные характеристики законов распределения, наиболее часто применяемые для прогнозирования изменения отказов по времени и являющиеся составными частями композиции законов распределения отказов сложных изделий.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение широко применяется для исследования дискретных случайных величин, встречающихся в теории надежности.

Это распределение может быть получено, если в качестве случайной величины взять число отказов, возникающих в процессе проведения однотипных независимых испытаний выборки изделий в одинаковых условиях. Другими словами, биномиальное распределение имеет место, когда равновероятно появление отказов в любом из проводимых испытаний случайной выборки изделий данного типа. Это распределение применяется только для положительных целых величин.

Если q — вероятность появления отказа в каждом из испытаний (q = const); n — число испытаний, m — возможное число отказов при n испытаний (m может иметь целое число от 0 до n), то вероятности возможных значений m, т. е. вероятности возможных значений рассматриваемой случайной величины X, определятся по формуле Бернулли:

                                          (3.28)[pic 1]

[pic 2]

где  — число всех возможных сочетаний, которое можно образовать из n испытаний, собирая в каждом из них по m отказов:[pic 3]

[pic 4]

Распределение дискретной случайной величины, определяемое данной формулой, называется биномиальным распределением. В качестве примера практического применения биномиального закона можно указать на:

—  статистический контроль качества выборки изделия, составляющий не более 10% объема партии;

— определение количества отказов неремонтируемых изделий в течение заданного времени при их испытаниях.

В обоих случаях количество бракованных изделий или количество отказов подчиняется биномиальному закону распределения.