Контрольная работа по "Геометрии"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры

1.5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

 (−5; 0; 2);  (8; 1; 3);  (1; −1; −2). Сделать чертеж.[pic 1][pic 2][pic 3]

Объем параллелепипеда, построенного на векторах

 (X1;Y1;Z1),  (X2;Y2;Z2),  (X3;Y3;Z3) равен:[pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

здесь X,Y,Z координаты вектора.

[pic 8]

Где (-23) нашли как определить матрицы.

= -5(1(-2) – (-1)3) – 8(0(-2) – (-1)2) + 1(03-12) = -23[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19]

2.5. Даны вершины А(3; –2), В(4;–1), С(1; 3) трапеции ABCD(AD || BC).Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.

[pic 20]

1.Найдем уравнение прямой AD.  Даны координаты вершины A(3; -2) и сказано, что прямая AD || BC.  Уравнение прямой AD будем искать, используя уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении

у - y0=k(x−x0)      (1)

Угловые коэффициент прямых  kAD=kBC, как угловые коэффициенты двух параллельных прямых.

Найдем уравнение прямой BC. Известны координаты двух точек этой прямой В(4; -1), С(1; 3), поэтому уравнения прямой BC будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки  =    (2)[pic 21][pic 22]

Подставляем координаты вершин:

BC:   =   =  y =  - x[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

Из уравнения прямой получаем угловой коэффициент

KBC =  =  kAD = [pic 28][pic 29][pic 30]

Найдем уравнение прямой AD, подставим координаты вершину A(-3; -2) и угловой коэффициент kAD= -  в уравнение  (1) [pic 31]

AD:  y + 2 = -  (x−3) = > y = −6 - x[pic 32][pic 33]

2. Найдем уравнение прямой BD. Даны координаты вершины В(4;-1) и сказано, что прямая BD ⊥ AC.  Уравнение прямой BD будем искать, используя уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении

y − y0=k(x−x0)     (1)

AC:   =   =  y =  + x;[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

kAC =  =  kBD = [pic 39][pic 40][pic 41]

BD:  y + 1 = -  (x−4) = > y =   -  x ;[pic 42][pic 43][pic 44]

 3. Найдем точку пересечения двух прямых AD и BD.

[pic 45]

Ответ: координаты вершины D (-15.375; 14.5)

3.5.  Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса. Сделать проверку.

                             [pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

x = 2

y = 2

2+2-z=3

z=1

(x,y,z) = (2, 2, 1)

[pic 50]

[pic 51]

Решение: (x,y,z) = (2,2,1).

Введение в математический анализ.

Производная и ее приложения.

4.5. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

a)  ;[pic 52]

   ;                    [pic 53]

   + 2 );[pic 54][pic 55]

;[pic 56]

;[pic 57]

;[pic 58]

;[pic 59]

;[pic 60]

;[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

Решение: -     -10 , -10.6[pic 64][pic 65][pic 66]

б)

[pic 67][pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

2[pic 72]

Решение: 2  3,4641[pic 73][pic 74]

 В)    [pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

Решение: -1

Г)   ()x²-1 [pic 80][pic 81]

 Решение: [pic 82]

5.5. Задана функция у=f(х). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

[pic 83][pic 84]

6.5. Методами дифференциального исчисления:

 а) исследовать функцию y = f (x) и по результатам исследования построить ее график;