Контрольная работа по "Геометрии"
Автор: Ксения Кирилина • Сентябрь 16, 2021 • Контрольная работа • 587 Слов (3 Страниц) • 302 Просмотры
Задача №1.
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:
[pic 1]
[pic 2]
где S – площадь треугольника ABC.
Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции [pic 3]. Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
Решение.
Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия
[pic 4] или [pic 5]
следует, что [pic 6]
Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):
[pic 7]
Вычислим плотность составляющей X:
при [pic 8], [pic 9]
откуда плотность составляющей X -
[pic 10]
Вычислим плотность составляющей Y:
при [pic 11], [pic 12]
при [pic 13], [pic 14]
Поэтому плотность составляющей Y –
[pic 15]
Найдем условную плотность составляющей X:
при [pic 16], [pic 17] случайные величины X и Y зависимы.
Найдем математическое ожидание случайной величины X:
[pic 18]
Найдем дисперсию случайной величины X:
[pic 19]
Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:
[pic 20]
Найдем математическое ожидание случайной величины Y:
[pic 21]
Найдем дисперсию случайной величины Y:
[pic 22]
Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
[pic 23]
Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):
[pic 24]
Тогда ковариация: [pic 25],
а значит и коэффициент корреляции [pic 26]
Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.
Задача №2.
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:
Y | X | |||
3 | 6 | 8 | 9 | |
-0,2 | 0,035 | 0,029 | 0,048 | 0,049 |
0,1 | 0,083 | 0,107 | 0,093 | 0,106 |
0,3 | 0,095 | 0,118 | 0,129 | 0,108 |
Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.
Решение.
Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:
X | 3 | 6 | 8 | 9 |
[pic 27] | 0,213 | 0,254 | 0,270 | 0,263 |
[pic 28]
[pic 29]
Проверка: [pic 30]+ [pic 31]+ [pic 32]+ [pic 33]= 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.[pic 34][pic 35]
Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:
Y | -0,2 | 0,1 | 0,3 |
[pic 36] | 0,161 | 0,389 | 0,450 |
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
Проверка: [pic 40]+ [pic 41]+ [pic 42]= 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.
Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.
1. Математическое ожидание случайной величины X:
[pic 43]2. Математическое ожидание случайной величины Y:
[pic 44]
3. Дисперсия случайной величины X:
[pic 45]
4. Дисперсия случайной величины Y:
[pic 46]
5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:
[pic 47]
6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
[pic 48]
Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):
X-M(X) | 3-M(X) | 6-M(X) | 8-M(X) | 9-M(X) |
[pic 49] | 0,213 | 0,254 | 0,270 | 0,263 |
Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):
...