Контрольная работа по «Математические методы риск-менеджмента»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, ФИНАНСОВ И БИЗНЕСА

Кафедра «Математических методов в экономике»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математические методы риск-менеджмента»

Вариант 4.

                                                                                             Выполнила:

                                                                                             студентка группы 4БИ(3,5)Б

                                                                                             Гимаева Э.Ф.

                                                                                             Проверила:

                                                                                             доцент

                                                                                             Колясникова Е.Р.

УФА – 2018

Задание 1

Формирование портфеля из рисковых активов

Вопросы:

1. Дайте определение функции полезности инвестора.
2. Изобразите графически семейство кривых безразличия для инвесторов с симпатией, безразличием и антипатией к риску.
3. Опишите функцию полезности Рубинштейна.
4. Охарактеризуйте геометрическую и алгебраическую интерпретацию решения задачи выбора оптимального портфеля для инвестора.
5. В чем заключается отличие стандартной модели Марковица от модели Блека при формировании портфеля? Дайте математическую интерпретацию этих моделей.

1. Каждый инвестор обладает индивидуальными особенностями. Набор предпочтений инвестора относительно уровня доходности и риска изображается графически в виде кривых безразличия (функция полезности инвестора).

2.      

[pic 1]

Карта кривых безразличия для инвестора с антипатией к риску.

[pic 2]

Карта кривых безразличия для инвестора с безразличием к риску.

[pic 3]

Карта кривых безразличия для инвестора с симпатией к риску                                

3. Для группы инвесторов с антипатией к риску функция полезности Рубинштейна имеет вид:

[pic 4]

где [pic 5] - отношение инвестора к риску.

4. Графически решение задачи – это точка касания кривой безразличия с областью выбора инвестора.

Решение задачи сводится к поиску такой структуры портфеля, которая максимизирует полезность инвестора.

[pic 6] [pic 7] [pic 8]

где [pic 9] - ожидаемая доходность портфеля;

[pic 10] - стандартное отклонение доходности портфеля;

[pic 11] - отношение инвестора к риску;

[pic 12] - дисперсия портфеля;

[pic 13] - доля рискового актива i в портфеле инвестора, [pic 14];

[pic 15] - количество активов.

Составляется функция Лагранжа. Для этого все ограничения должны быть записаны таким образом, чтобы после знака «=» стоял ноль. Из целевой функции отнимается ограничение, умноженное на множитель Лагранжа. Чтобы найти экстремальные точки, находятся производные по неизвестным переменным и множителям Лагранжа и приравниваются к нулю.

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18] [pic 19] … [pic 20] [pic 21]

5.  Отличие стандартной модели Марковица от модели Блека при формировании портфеля заключается в том, что в модели Блека не наложено условие неотрицательности на доли активов в портфеле, т.е. в модели Блека возможны короткие продажи.

Модель Блека:

[pic 22] [pic 23]

Модель Марковица:

[pic 24] [pic 25] [pic 26]

На рынке обращается два вида рисковых активов А и В.

1) Определите  значения  ожидаемой  доходности  и  риска  для  активов А и В, а также портфеля, составленного на 60% из активов А и на 40% из активов В.