Тензор инерции для простейших тел. Теорема Гюйгенса–Штейнера

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

1.        Понятие тензора инерции...………………………………………...……...4

2.        Теорема Гюйгенса–Штейнера……...……………………………………...7

3.        Тензор инерции для простейших тел………...…...……………………….9

3.1        Тензор инерции куба…………………...…...……………………...10

3.2        Тензор инерции цилиндра……………..…...………………………11

3.3        Тензор шара………………………………….……………………...12

Заключение……………………………………………………………………….13

Литература……………………………………………………………………….14

Введение

Понятие тензор инерции введено для оценки распределения массы объекта в пространстве и поэтому является важнейшим понятием при описании вращательного движения твердого тела около точки закрепления.

Происхождение термина тензор связано с теорией упругости, в которой впервые в физике для описания зависимости упругой деформации от приложенной к телу силы появилась потребность в подобных величинах.

Целью данной работы является введение понятия тензор инерции и его значение для некоторых простейших тел.

1. Понятие тензора инерции

Тензор инерции — в механике абсолютно твердого тела — величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с его угловой скоростью:

[pic 1]

По определению, момент импульса тела:

[pic 2]

Далее использовано тождество для двойного векторного произведения:

[pic 3]

[pic 4]

Полученный результат доказывает, что величина, связывающая векторы момента импульса и угловой скорости – тензор.

[pic 5]

Введя матричные обозначения, это же самое выражение для вектора момента импульса тела будет преобразовано в произведение квадратной матрицы на вектор угловой скорости тела (матрица столбец):

[pic 6]

Таким образом, определена связь момента импульса тела с вектором угловой скорости :[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Совокупность девяти величин  называется тензором инерции:[pic 11]

[pic 12]

Видно, что тензор инерции симметричен: [pic 13]

Общий вид компонент :[pic 14]

[pic 15]

где  принимают значения ;[pic 16][pic 17]

Наиболее общее определение тензора инерции, получающегося из определенных выше сумм при предельном переходе:

[pic 18]

где  - символ Кронекера. Или[pic 19]

[pic 20]

Интегрирование ведется по всему объему тела .[pic 21]

Компоненты тензора инерции, характеризующие данное твердое тело, являются постоянными величинами, которые зависят только от выбора системы координат, жестко связанной с телом, от распределения массы твердого тела и его формы.

При переходе к другой системе координат все компоненты тензора инерции меняются. В тоже время знание всех компонент  в какой-либо системе координат позволяет определить их в любой другой системе координат, следовательно, совокупность всех 6 чисел  имеет смысл независимый от выбора системы координат. Соответствующим выбором системы координат можно преобразовать тензор инерции к диагональному виду:[pic 22][pic 23]

[pic 24]

Оси в этой системе координат называются главными осями, т.е. осями для которых центробежные моменты инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю.

2. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Пусть тензор инерции тела или системы в центральных осях некоторой системы координат  (см. рис.) задан: [pic 25]

[pic 26]

Компоненты тензора инерции в осях системы координат , полученной параллельным переносом из точки  в точку . Для этого, обозначив радиус-вектор частицы тела относительно центра масс – , а относительно точки  –  , тогда тензор инерции тела в точке  принимает вид:[pic 34][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

[pic 35]

в точке [pic 36]

[pic 37]