Методи розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Міністерство освіти і науки України

Тернопільський національний технічний університет

імені Івана Пулюя

Кафедра комп’ютерних систем і мереж

Звіт

про виконання лабараторної роботи №1

з дисципліни “Алгоритми та методи обчислень”

на тему: “Методи розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь”

Виконав

Студент групи СІс-21

Климчук Дмитро Андрійович

Прийняла

Тиш Євгенія Володимирівна

Тернопіль 2022

Лабораторна робота № 1

Методи розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Мета роботи: ознайомитися з алгоритмами та методами розв’язання систем лінійних рівнянь та навчитись реалізовувати їх для конкретних задач.

Варіант 4

Хід роботи

Метод Гаусса

Загальний вигляд матриці:

[pic 1]

Ділимо перший рядок на 2.78, щоб у першому індексі з’явилась одиниця.

[pic 2]

Отримуємо наступну матрицю:

[pic 3]

До другого рядку додаємо перший рядок, помножений на четвертий індекс(перший стовбець другий рядок – число -0.78). До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на сьомий індекс(-0.45). У перших індексах кожного, окрім першого, рядка мають бути нулі.

[pic 4]

Результати в матриці нижче:

[pic 5]

Ділимо другий рядок на п’ятий індекс():[pic 6]

[pic 7]

Матриця буде мати такий вигляд:

[pic 8]

Від першого рядка віднімаємо другий рядок, помножений на другий індекс(. Від третього рядка віднімаємо другий рядок, помножений на восьмий індекс(). [pic 9][pic 10]

[pic 11]

Матриця буде наступного вигляду:

[pic 12]

Третій рядок ділимо на дев’ятий елемент([pic 13]

[pic 14]

Результат буде наступним:

[pic 15]

До першого рядка додаємо третій рядок, помножений на третій індекс

(. А до другого рядка додаємо третій рядок, помножений на шостий індекс(.[pic 16][pic 17]

[pic 18]

Результат буде наступним:

[pic 19]

Кінцевий результат розв’язку системи рівнянь методом Гаусса:

[pic 20]

Метод Крамера

Загальний вигляд матриці:

[pic 21]

∆ = 2.78 · 3.14 · 2.48 + 0.38 · (-0.81) · (-0.45) + (-0.43) · (-0.78) · 0.86 - (-0.43) · 3.14 · (-0.45) - 2.78 · (-0.81) · 0.86 - 0.38 · (-0.78) · 2.48 = 21.648416 + 0.13851 + 0.288444 - 0.60759 + 1.936548 + 0.735072 =   [pic 22]

Замінюємо перший стовпець відповідними вільними членами.

 = 3.261·3.14·2.48 + 0.38·(-0.81) · 6.072 + (0.43) · 3.295 · 0.86 - (-0.43) · 3.14 · 6.072 - 3.261· (-0.81) · 0.86 - 0.38 · 3.295 · 2.48 = 25.3940592 - 1.8689616 - 1.218491 + 8.1984144 + 2.2716126 - 3.105208 = [pic 23][pic 24]

Аналогічно замінюємо другий стовпець вільними членами.

 = 2.78 · 3.295 · 2.48 + 3.261 · (-0.81) · (-0.45) + (-0.43) · (-0.78) · 6.072 - (-0.43) · 3.295 · (-0.45) - 2.78 · (-0.81) · 6.072 - 3.261 · (0.78) · 2.48 = 22.717048 + 1.1886345 + 2.0365488 - 0.6375825 + 13.6729296 + 6.3080784 = [pic 25][pic 26]

Також заповнюємо третій стовпець.

 = 2.78 · 3.14 · 6.072 + 0.38 · 3.295 · (0.45) + 3.261 · (-0.78) · 0.86 - 3.261 · 3.14 · (-0.45) - 2.78 · 3.295 · 0.86 - 0.38 · (0.78) · 6.072 = 53.0037024 - 0.563445 - 2.1874788 + 4.607793 - 7.877686 + 1.7997408 = [pic 27][pic 28]

Результат:

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Метод простих ітерацій

Систему можливо вирішити методом послідовних наближень. Нехай  = β, тоді:[pic 32]

 = b - a[pic 33][pic 34]

=b - a[pic 35][pic 36]

....

 = b - a[pic 37][pic 38]

Приведемо до вигляду:

 = 1.173 - (0.14 - 0.15)[pic 39][pic 40][pic 41]

= 1.049 - (-0.25 - 0.26)[pic 42][pic 43][pic 44]

 = 2.448 - (-0.18 + 0.35)[pic 45][pic 46][pic 47]

Обчислення закінчується по критерію:

, де[pic 48]

[pic 49]

a = 0.181 + 0.347 = 0.5282

[pic 50]

Обчислення на прикладі декількох ітерацій.