Три метода решения уравнений высших степеней

II Всероссийская (XVIII Поволжская) научная конференция учащихся им.Н.И.Лобачевского

Секция «Математика»

Исследовательская работа

 ТРИ МЕТОДА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

Васильев Антон, 10 класс

Направляющая организация:

ГБОУ РС(Я) «Якутская кадетская школа-интернат»

Республика Саха (Якутия), г. Якутск

Руководитель: Тимофеева Нь.М.,

учитель математики

Казань 2017

Содержание:

Введение        3

Глава 1. Теоретическая часть.  Методы решения алгебраических уравнений        5

1.1. Решения алгебраических уравнений в школьном курсе        5

1.2. Методы решения уравнений с помощью        теоремы Виета, схемы Горнера и теоремы Безу        10

Глава 2. Практическая часть.        16

Применение методов решения уравнений высших степеней        16

2.1. Разбор решений уравнений высших степеней методами: теоремы Виета, схемы Горнера и теоремы Безу        16

2.2. Анализ изучения методов решения уравнений высших степеней учащимися 9 класса        23

2.3.Подборка уравнений высших степеней для самостоятельного решения        25

Список использованной литературы        29

Введение

Существует много уравнений, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для школьника.

В данном исследовании для решения уравнений высших степеней рассмотрено три метода, которые, как нам кажется, являются наиболее практичными. Проведено исследование среди девятиклассников и сделаны соответствующие выводы.

Отметим, что общего рецепта решения уравнений любой натуральной степени не существует, но при знании приведенных в данной работе способов и методов решений уравнений многие трудные задачи окажутся вполне посильными для «среднего» школьника.

Объект исследования: уравнения высших степеней.

Предмет исследования: методы решения уравнения высших степеней.

Цель исследования: научиться решать уравнения высших степеней с помощью теоремы Виета, теоремы Безу и схемы Горнера.

Задачи исследования:

1. Изучить методы решения уравнений выше 3-ей степени.
2. Рассмотреть решения уравнений с использованием трех методов: теоремы Безу, теоремы Виета и схемы Горнера. Исследовать умение использовать эти методы в решении уравнений кадетами 9-го класса.
3. Определить наиболее практичные методы решения уравнений высших степеней.
4. Подобрать уравнения для самостоятельного решения.

Я выдвинул гипотезу: знание методов решения уравнений высших степеней, поможет в успешной сдаче государственных экзаменов.

Методы исследования: анализ, частично-поисковые, исследовательские.

Практическая ценность: материалы могут быть использованы при проведении уроков алгебры, факультативных занятий по математике, в решении олимпиадных заданий, при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ.

Глава 1. Теоретическая часть.  Методы решения алгебраических уравнений

1.1. Решения алгебраических уравнений в школьном курсе

Определение алгебраического уравнения

Уравнение вида Pn(x)=0, (1) где Pn(x) - многочлен степени n, т.е.

Pn(x)= а0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (1) где a0≠0, an-любое натуральное число или 0, коэффициенты an-1, …, a0 - произвольные числа, называется алгебраическим уравнением степени n. Так же из школьного курса мы знаем, что есть основные методы решения алгебраических уравнений:

1. Метод разложения на множители.
2. Метод введения новой переменной:

1. Простейшие случаи. Очевидная замена.
2. Использование основного свойства дроби
3. Раскрытие скобок парами
4. Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения
5. Выделение квадрата двучлена.
6. Возвратные уравнения
7. Уравнения, сводящиеся к однородному уравнению
8. Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.

1. Применение следствия из теоремы Безу.

Линейное уравнение

При n=1 уравнение (1) обычно записывается в виде ах+b=0, и называется линейным; которое при a≠0, b≠0 имеет единственный корень х0=-b/a; при а=0, b=0 имеет множество корней; при а=0, b≠0 уравнение не имеет корней.