Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Теорема Кронекера-Капелли: система уравнений совместна и имеет единственное решение, если r(A) = r(A/B) = n, где n – число неизвестных, несовместна, если r(A) < r(A/B), т. е. решений не имеет; если же r(A)=r(A/B) < n, то решений бесчисленное множество.

Рассмотрим применение матриц и определителей к исследованию и решению системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными:

[pic 1]                                     (**)

где коэффициенты [pic 2] при неизвестных [pic 3] и свободные члены [pic 4] считаются заданными.

Тройка чисел [pic 5] называется решением системы, если в результате подстановки их в систему все три уравнения обращаются в тождества.

Правило Крамера.

Если [pic 6]≠ 0, то существует, и притом единственное, решение системы (*), и оно выражается формулами Крамера:

[pic 7]   [pic 8],   [pic 9],                                 (1.6)

где [pic 10] = [pic 11] - определитель системы уравнений.

Определители [pic 12] получаются из [pic 13] заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов, т. е.:

[pic 14],  [pic 15],  [pic 16].

Пример: Решить систему, используя формулы Крамера [pic 17]

Решение: 

[pic 18][pic 19] = [pic 20] = 33 ≠ 0 [pic 21] r(A) = r(A/B) = 3, т.е. система имеет единственное решение.

[pic 22] = 33,   [pic 23] = 33,  [pic 24] = 33.

[pic 25]  [pic 26]  [pic 27]

Ответ: (1; 1; 1).

Решение систем с помощью обратной матрицы.

Рассмотрим систему:

[pic 28]