Тест по "Высшей математике"

Вариант 11

1.Каким свойством обладает единичная матрица?
  Ответ: Определитель единичной матрицы равен 1.
2.В каких случаях определитель равен 0?
  Ответ: Определитель равен нулю, если он имеет две равные строки (столбца).
3.Какая матрица называется невырожденной?
  Ответ: Невырожденная матрица ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля.
4.Перечислите преобразования матрицы не меняющие её ранга.
   Ответ: а)Транспонирование;
                   б)Умножение ряда на число;
                   в)Прибавление к любому ряду соответствующих элементов другого ряда;
                   г)Удаление из матрицы нулевого ряды.
5.Какая система называется несовместной?
  Ответ: Система называется несовместной , если она не имеет решений.
6.Если определитель матрицы однородной системы линейных алгебраических уравнений равен 0, то какие решения имеет эта система?
    Ответ: Если система уравнений однородная и ее определитель получился равным нулю, то у такой системы есть не нулевое решение.
7.Каким свойством обладают направляющие косинусы вектора?
    Ответ: Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
8. Напишите уравнение прямой на плоскости с нормальным вектором.
    Ответ: 
9.При каком условии две плоскости параллельны?
  Ответ: Две плоскости являются параллельными, если они не имеют общих точек.
10.При каком условии две прямые в пространстве перпендикулярны?
Ответ: Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90.
11.Что называется линейной комбинацией векторов?
    Ответ: Линейной комбинацией системы векторов называется вектор, получаемый из векторов этой  системы путём умножения их на коэффициенты и сложения.
12.Сформулируйте определение линейного оператора.
      Ответ: Оператор А, действующий из V в W,называется линейным если для любых элементов х1 их2 пространство V и любого комплексного числа  выполняются соотношения: 1.  (свойство аддитивности оператора).
                          2.А (λх)=λАх (свойство однородности оператора)[pic 1][pic 2][pic 3]

Вариант 8

1.Какими свойствами обладает операция умножение числа на матрицу?
  Ответ: λ-число
а) λ×µ×A=(λ×A) µ=(λ×µ)×A=λ×(µ×A);
б)λ×(A+B)=λA+λB;
в)(λ+µ)×A=λA+µA.
2.Что называется минором элемента определителя?
Ответ: Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
3. Напишите формулу решения матричного уравнения XA=B.
Ответ: Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: [pic 4]. Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.
4. Как изменится ранг матрицы если все элементы какого-либо столбца умножить на число отличное от нуля?
Ответ:
5. В каком случае система линейных алгебраических уравнений имеет бесконечно много решений?
Ответ: Система линейных алгебраических уравнений имеет бесконечно много решений в том случае, если она является совместной.
6. Что можно сказать о решении однородной системы линейных алгебраических уравнений, если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных?
Ответ:
7. Для каких трех векторов их смешанное произведение отрицательное?
Ответ: Смешанное произведение трех векторов отрицательное в том случае, если они являются векторами левой тройки.
8. Как вычисляется угол между прямыми на плоскости заданными общими уравнениями?
Ответ: [pic 5]
9.Как расположена плоскость Ах+Ву+Сz+D=0,если А=D=0?
Ответ:
10. Какие уравнения называются общими уравнениями прямой в пространстве?
Ответ: Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений при условии, что эти плоскости непараллельны, т.е. их нормальные векторы →n1 = {A1, B1, C1} и →n2 = {A2, B2, C2} неколлинеарны.
11. Какой оператор называется линейным?
Ответ: Оператор А, действующий из V в W,называется линейным если для любых элементов х1 их2 пространство V и любого комплексного числа  выполняются соотношения:
                          1.  (свойство аддитивности оператора).
                          2.А (λх)=λАх (свойство однородности оператора)
12.Что такое положительно определенная квадратичная форма?
Ответ: Квадратичную форму f(X) называют положительно определенной, если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е.f(X)> 0.[pic 6][pic 7]