Оқиғалар алгебрасы. Ықтималдықтың анықтамалары. Ықтималдық қасиеттері. Комбинаториканың негізгі формулалары

Кездейсоқ оқиға. Оқиғалар алгебрасы. Ықтималдықтың анықтамалары. Ықтималдық қасиеттері. Комбинаториканың негізгі формулалары.

 Өмірде болып жатқан оқиғаларды соңы немен аяқталатынын болжап білу мүмкін және мүмкін емес деп бөлуге болады. Ағаштан жасалған кубикті суға лақтырғанда ол міндетті түрде су бетіне қалқып шығады. Бірақ кубиктің жоғарғы жағында қанша ұпаймен шығатынын болжау мүмкін емес. Егер тиынды бір рет лақтырса, онда елтаңба немесе цифр түсуі алдын-ала белгісіз. Бірақ тиынды көп рет лақтырсақ, жобамен жартысында елтаңба, жарты жағдайда сан түсуі мүмкін. Сонымен, қандай да бір заңдылық пайда бола бастайды. Ықтималдықтар теориясы – кездейсоқ құбылыстардың заңдылығын зерттейтін математикалық ғылым. Ол құбылыстарды емес, оның  математикалық моделдерін қарастырады. Ықтималдықтар теориясында оқиға - басты ұғым.

 Анықтама.

 Кездейсоқ оқиға деп берілген шарттар жиынтығында орындалуы да, орындалмауы да мүмкін оқиғаны айтамыз; бұл шарттар жиынтығы сынақ немесе тәжірибе делінеді.

    Ықтималдықтар теориясында жиындар теориясының аппараты қолданылады, кездейсоқ оқиғалар жиындар сияқты латын  алфавитінің бас әріптерімен белгіленеді [pic 1], т.с.с.

    Мысалы 1.1.1 – «Ойын сүйегін лақтыру» сынағын қарастырайық.  Келесі кездейсоқ оқиғалар болуы мүмкін: А – 2 ұпайдың түсуі; В – ұпайлар саны тақ болып түсуі; С – 9 ұпайдың түсуі; D – бүтін ұпайлар саны түсуі.

    Анықтама.

    Тәжірибенің мүмкін болатын нәтижесі элементар оқиғалар

деп аталып,  [pic 2] деп белгіленеді. Элементар оқиғалардың жиыны элементар оқиғалар кеңістігі  деп аталып,  [pic 3] деп белгіленеді.

    Сонымен, кез келген А жиыны [pic 4] ішкі жиыны деп қарастыруға болады: [pic 5]. Әр есепте [pic 6] әртүрлі.

    Мысалы 1.1.2 – Жоғарыда келтірілген мысалда ойын сүйегін лақтырғанда 6 элементар оқиғалар болуы мүмкін: [pic 7], мұндағы [pic 8]- лақтыру кезінде [pic 9] ұпайының түсуі. Сонымен, бұл есепте элементар оқиғалар кеңістігі  [pic 10] немесе [pic 11]. А кездейсоқ оқиғасын  –  2 ұпайдың түсуін [pic 12] ішкі жиыны деп қарастыруға болады: [pic 13]; сол сияқты [pic 14].

    Анықтамалар.

    1. Егер   тәжірибе   нәтижесінде   оқиғаның алдын ала орындалмайтыны

белгілі болса, онда ол оқиға мүмкін емес деп аталады. Белгіленуі [pic 15]- бос жиын.

2.    Егер тәжірибе нәтижесінде оқиғаның міндетті түрде орындалатыны

белгілі болса, онда ол оқиға ақиқат деп аталады. Ақиқат оқиға [pic 16]-мен беттеседі.

3.    Егер   тәжірибе  нәтижесінде  бір оқиғаның пайда болуы екіншісінің

пайда болуына әсер етпесе, онда бұл оқиғалар үйлесімсіз деп аталады, қарсы жағдайда – үйлесімді. Егер бірнеше оқиғалардың кез келген екеуі үйлесімсіз болса, онда олар жұбымен үйлесімсіз.

    Егер оқиғалардың пайда болуға мүмкіндіктері бірдей болса, олар бірдей мүмкіндікті делінеді.

4.    Егер бірнеше оқиғалар үшін келесі шарттар орындалса:

а) олар жұбымен үйлесімсіз;

б) әрбір тәжірибе нәтижесінде тек бір оқиға пайда болса,

онда бұл оқиғалар толық топ құрайды.

    Сонымен, бірінші мысалда С оқиғасы - 9 ұпайының түсуі, мүмкін емес: С=[pic 17];  D оқиғасы – бүтін ұпайлар саны түсуі, ақиқат: [pic 18]; А және [pic 19] оқиғалары үйлесімсіз; А және D үйлесімді. [pic 20] оқиғалары бірдей мүмкіндікті және толық топ құрайды.