Математикалық талдауға кіріспе

1 – дәріс                           

                                    Математикалық талдауға кіріспе

Жоспар:

1. Логикалық символдар
2. Жиындар. Жиындарға амалдар қолдану
3. Нақты сандар

1. Логикалық символдар. Мектеп қабырғасынан білетін «+» - қосу; «-» - азайту;«*» - көбейту; «/» -бөлу; «=» - теңдік тағы сол сияқты көптеген символдар (таңбалар) арқылы математикада қолданылатын кейбір ұғымдарды пайдаланамыз.

   Дәл осы сияқты, алдағы уақытта теоремаларды, анықтамаларды т.с.с  ұғымдарды қысқартып жазу үшін (әсіресе дәріс жазған кезде) жиі қолданылатын бірнеше символдарды келтірейік. Оларды математикалық тілде – логикалық символдар немесе кванторлар деп атайды.

    Енді солардың  кейбіреулеріне тоқталайық.

1. ∀ (ағылшынның All – барлық  деген сөзінің төңкерілген бірінші әрпі) – «кез келген» , «барлық», «әрбір»

2. ∃ (ағылшынның Exist – бар болады сөзінің кері жазылған бірінші әрпі) – «табылады», «белгілі бір», «бар болады»;

3. ⇒ -  «онда» , «шығады», «туады», А-дан В шығады;

4. ⇔ - «қажетті және жеткілікті», «сонда,тек қана сонда», «қайтымдылық» - («А-дан В; В-дан  А шығады);

5. ~ - «эквивалентті», «сайма-сай», «пара-пар», «бірме-бір»;

6. : - «орындалғанда», «болғанда», «болса»;
7. ∈ - «ішінде жатады», «тиісті», ( с – қамтиды);

8. ∉ - «тиісті емес»;

9. , -үшін сияқты ұғымдарын білдіреді;

   Логикалық символдарды (кванторларды) пайдаланып мысалдар келтірейік.

а) Д жиынында жататын барлық х-тер үшін, Т>0 саны табылып, f(х+Т) = f(х) теңдігі орындалатын болса, онда f(х)-Т периодты функция деп аталады.

«Квантор» тілінде жазайық

  D∈∀х, ∃Т>0 f(х+T) = f(х): ⇒ f(х)-Т периодты функция деп аталады.

ә) Егер D жиынында жататын кез келген х-тер үшін f(-х) =f(х) (f(-х) = f(х)) теңдігі орындалатын болса, онда f(х)- жұп(тақ) функция деп аталады. Ал, квантор тілінде DэVх, f(-х) = f(х) f(-х) = -f(х): ⇒ f(х)- жұп(тақ) функция деп аталады.

2. Жиындар. Жиындарға амалдар қолдану. Жиынның қуаты. Шектелген жиындар.

Жиындар- математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады. Сонымен, жиындар деп-белгілі бір ортақ белгілері арқылы сипатталатын обьектілердің жиындығын айтамыз. Мысалы, студенттер,оқушылар,құрылысшылар,алфавиттегі әріптер,сандар т.с.с жиындар болып табылады. Жиындарды латын алфавитінің бас әріптері арқылы белгілейміз. Мысалы: А ={a,в,с,d.x}, N ={1,2,3...n...}, Z ={…-n,-(n-1),...,-1,2,...,n}. Мұндағы а,в,с,...Z,х1,х2,...,хn,1,2,3,...n,...- сәйкес А,N,

Егер а элемент А жиынында жататын  (жиынына тиісті)болса,онда а∈А немесе А∈а түрінде а р элементі А жиынында жатпайтын болса, онда р∈А түрінде жазылады.

Егер А және В жиындары бірдей элементтерден тұратын (құралған) болса, онда олар өзара тең жиындар деп аталады. А=В жазылады, басқа сөзбен айтқанда, егер А=В болса, онда х∈А, х∈В.

Егер А жиынының кез келген мүшесі (элементі) В жиынында да жататын болса, онда А-В жиынының жиыншасы (іш жиыны) деп аталады және А⊂В немесе В⊃А түрінде жазылады.

Мысалы: N-натурал сандар,Z-бүтін сандар,R-нақты сандар жиындары болса,онда N⊂Z⊂R, яғни N-Z пен R-дің жиыншасы,N,Z - R-дің жиыншалары болып табылады.

Құрамында бірде-бір элементі жоқ жиын бос жиын деп аталады және ∅ символымен белгіленеді.

Элементтері р(х) қасиетін қабылдайтын М жиынында жататын барлық х-терді {x|x∈M,Р(х} түрінде белгілейміз. Мысалы, математикада жиі қолданылатын кесінді,интервал,жарты интервалдарды мына түрде жазамыз:

а) [а,в] кесіндісін – [а,в] ={х|х∈R,а⩽х⩽в}

б) (а,в) интервалын – (а,в) = ]а,в[={x|x∈R,а<x<в}

c) (а,в) жарты интервалын – (а,в] ={x|x∈R,а<x⩽в}

в) [а,в) жарты интервалын – [а,в) ={x|x∈R,а⩽x<в}.