Лекции по "Математике"

ЛЕКЦИЯЛАР 2023-2024 оқу жылы

1 бөлім. Функция, оның қасиеттері және графигі

Тақырып 1. Функция және оның берілу тәсілдері.  Функциялардың графиктерін түрлендіру.

Функция ұғымы математиканың негізгі ұғымдарының бірі болып табылады.

Егер D жиынының әрбір х элементіне E жиынының бір ғана у элементі сәйкес қойылса, онда D жиынында y = f ( x)функциясы берілген деп атайды.

х – аргумент – тәуелсіз айнымалы; y – тәуелді айнымалы; ол f заңы арқылы табылады. D жиыны функцияның анықталу облысы болып табылады, ал E жиыны функцияның мәндер  жиыны деп аталады.

М1, Аргумент мәндерінің жиыны- сендердің өз жеке бастарын, ал функцияның мәндер жиыны- сендердің аты- жөндерін. Бірақ біз сандық тізбек функциясын қарастырудамыз. Яғни D және Е    жиындары – сандық жиындар. Яғни сандық тізбек функциясы бұл бірінші элементтері бірдей болмайтын (х,у) парын айтады.

Функция қалай беріледі? Ең негізгісі формуламен, онда х арқылы у табылады.        

Мысал: f(x) = x2 +x +3. х = 2 қойсақ, у = 9 аламыз.

Функция бірнеше аналитиалық өрнек түрінде берілуі мүмкін:

Мысал:

⎧⎪x2, егер  x < 0;

y = ⎨

⎪⎩x, егер  x ≥ 0

Кейбір жағдайда функциялық тәуелділікті аналитикалық түрде беру мүмкін емес, ондай кезде функцияның кестелік берілуі қолданылады.

Және ең соңғысы: егер алдыңғы 2 жағдайда функцияны беру мүмкін емес болса, онда графиктік тәсіл қолданылады. Өздеріңнің кардиограммаларыңды еске түсіріңдер.

Функцияның анықталу облысын табудың жолдарын қрастырайық:

1-мысал: f(x)= √1-x2 функцияның анықталу облысы мен мәндер жиынын табу керек. Анықталу облысы [-1;1] кесіндісі болады. Ал мәндер жиыны у-тің қабылдайтын мәндері, яғни: [0;1]

2-мысал: f(x)=1/х функциясы берілсін.

Анықталу облысы 0- ден өзге сандардың барлығы, ал мәндер жиыны: Е(f)= (-∞;0) U(0;+∞) болады.

3-мысал: f(x)= sin х функциясының анықталу облысы бүкіл сан түзуі болады. Ал мәндер  жиыны [-1;1] кесіндісі болады.

Функция графиктерін қарапайым түрлендіру.

Функцияның аналитикалық берілуінде біз оның анықталу облысын тапқанбыз, ендігі графиктері бойынша оның мәндер жиынын тауып көрейік. Мына функциялардың графиктері бойынша олардың мәндер жиынын анықтаңдар.

[pic 1][pic 2]

[pic 3][pic 4]

y = k

x

x ∈(−∞;0) ∪(0; +∞)

        [pic 5]

Осы функциялардың графиктерін түрлендірудің бірнеше ережесін жазып алайық:

1. f(x)+c функциясының графигі f(x) функциясының графигін у осі бойынша с бірлік жоғары немесе төмен жылжытқаннан пайда болады.

Мысал1.

у=х+2 және у=х-2 функцияларының графигін қарастырайық.

f(x)[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

g(x)

[pic 10]

s(x)[pic 11]

x, x, x

Берілген функциялардың графиктері у=х функциясының графигін с>0 болғанда сонша бірлік жоғары, теріс болғанда төмен жылжытқаннан пайда болады.

1. f(x+c) функциясының графигі f(x) функциясының графигін с бірлік х осі бойынша оңға не солға жылжытудан пайда болады.

Мысал2.

у=(х+2)2 функциясының графигі у=х2 функциясының графигін 2 бірлік солға қарай жылжытудан пайда болады. Ал бұл функцияның графигі (0,0) бас нүктесі болатын парабола екендігін өздерің білесіңдер.