Методы решения нелинейных уравнений

Федеральное агентство связи

Ордена Трудового Красного Знамени государственное бюджетное

учреждение высшего образования “Московский технический университет

связи и информатики” (МТУСИ)

Кафедра Информатики

Отчёт

По лабораторной работе № 2

Вариант 3

«Методы решения нелинейных уравнений»

                                                                          Выполнил:

Зачетка №3БИН20107

                                                                  Студент группы БИН2053

                                                              Бубнов С.А.

                                                                  Проверил:

Загвоздкин В.А

Содержание

1.Индивидуальное задание        2

2.Отделение корней с использованием  MathCad        3

3.Уточнение корня с использованием  MathCad        5

4.Решение уравнения средствами  MathCad        15

1.Индивидуальное задание

Уравнение ex – 4 e-x – 1 = 0

Методы решения нелинейных уравнений для ручного расчета – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд;

2.Отделение корней с использованием  MathCad

Отделение корней производим графическим методом (а) с обязательным подтверждением результата аналитически (б)

а)

б) На отрезке [0.7; 1.1] функция f(x) меняет знак, т.е. существует, по крайней мере, один корень. Поскольку знак первой производной f1(x)= 4e-x + ex> 0   на выбранном отрезке остается постоянным, то можно сказать, что функция на этом отрезке монотонна. Знакопостоянство второй производной f2(x)= ex -4*e-x на выбранном отрезке является необходимым условием применения метода Ньютона и метода хорд. Следовательно, уравнение ex – 4 e-x – 1 = 0 имеет единственный корень на отрезке [0.1;0.75].

3.Уточнение корня с использованием  MathCad

Метод половинного деления

1. Исследование задания

Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0.7;1.1] функция f(x) = ex – 4 e-x – 1 знак   () и  монотонна (f’(x) > 0),  то условие сходимости выполняется. [pic 10]

• Выберем за  начальное приближение середину отрезка  [pic 11] =0.9
• Условие окончания процесса  уточнения корня. Для оценки погрешности метода половинного деления справедливо условие |bn – an|<ε , т.е. длина отрезка, полученного на n-ом шаге должна быть меньше заданной точности - [pic 12]

1. Результаты «ручного расчета» трех итераций

Результаты вычислений представлены в форме табл. 2-2а.