Жоғары ретті туындылы функционалдар. Көп айнымалылы функцияның функционалдары

          3-дәріс. Жоғары ретті туындылы функционалдар.

          Көп айнымалылы функцияның функционалдары.

Эйлер теңдеуінің канондық түрі.

Жоғары ретті туындылы функционалдар. Енді [pic 1] функциясы  n+2 рет үзіліссіз дифференциалданатын, [pic 2] жиынында анықталған және

                          [pic 3]              (3.1)

шеттік шарттарын қанағаттандыратын  

                                   [pic 4]

функционалын қарастыралық.

 Бұл жағдайдағы  ұйғарымды вариация мына біртекті шеттік шарттарды                    

                     [pic 5]               (3.3)

қанағаттандыратын кез-келген [pic 6] функция бола алады. Айталық [pic 7] функциясы [pic 8] функционалын экстремумге жеткізсін. Қайбір ұйғарымд [pic 9] вариациясын таңдап алып және оны тағайындап, мына

  [pic 10]

функциясын қарастыралық, мұндағы[pic 11] дегеніміз [pic 12] вариациасының      [pic 13]-шы туындысы. Бұл [pic 14] функциясы [pic 15] нүктесінде экстремумге ие, және осы нүктеде дифференциалданатын-дықтан [pic 16]. Бірақ

[pic 17]

мұндағы интеграл астындағы   функцияның оң жақтағы  дербес туын-дылары [pic 18]нүктесінде есептеледі. Сондықтан

                    [pic 19]                 (3.4)

Бөліктеп интегралдау мен шекаралық шарттарды ескере отырып алатынымыз

[pic 20][pic 21]

[pic 22][pic 23]

...........................................................

[pic 24][pic 25]

Алынған нәтижені  (3.4) өрнегіне қойсақ:

                [pic 26].

Бұл қатынас кез-келген шексіз диференциалданатын [pic 27]функциясы үшін де әділ. Сондықтан,  Лагранж леммасына сай

[pic 28]

 осыдан қосылғыштардың ретін алмастырсақ

                   [pic 29]                         (3.5)

Алынған (3.5) теңдеуі –    Эйлер-Пуассон теңдеуі, ал  оның [pic 30] рет үзіліссіз дифференциалданытын шешімдері [pic 31] функционалының экстремалдары деп аталады. Сонымен келесі тұжырым дәлелденді.

        3.1.-теорема1. Егер  [pic 32] жиында анықталған (3.1) шеттік шарттарын қанағаттандыратын (3.2) түріндегі [pic 33] функционалы қайбір[pic 34] функциясында экстремумге жетсе, онда бұл   функция Эйлер-Пуассон теңдеуін қанағаттандыруы қажет.

3.1-мысал. Функционал экстремалін табыңыз

                              [pic 35]

Эйлер-Пуассон теңдеуі: [pic 36] Оны шешкенде алатынымыз:

 [pic 37]

Осы үйірдің әр функциясы берілген функционалдың экстремалі болып табылады.

Көп айнымалылы функцияның функционалдары. Қай бір [pic 38] облысында екі рет үзіліссіз дифференциалданатын М  жиынындағы [pic 39] функциясын қарастыралық. Яғни

                      [pic 40]                                 (3.6)

функционалының экстремумын зерттелік, мұндағы [pic 41]  дегеніміз [pic 42] шартын қанағаттандыратын облыс, [pic 43] –  өз аргументтері бойынша екі рет үзіліссіз дифференциалданатын функция.  Бұл функционалдың анықталу облысы ретінде М жиынындағы функциялардың [pic 44] облысының шекарасында берілген: