Жоғары ретті туындылар. Ролль, Лагранж, Коши теоремалары. Лопиталь ережесі

11-тақырып. Жоғары ретті туындылар. Ролль, Лагранж, Коши теоремалары. Лопиталь ережесі

           Берілген [pic 1] функциясының туындысы [pic 2] тәуелсіз айнымалы [pic 3]- тің функциясы болады. [pic 4]- бірінші ретті туынды деп аталады.

Бірінші ретті туындыдан алынған туынды - екінші ретті туынды, сол сияқты [pic 5]- ші ретті туындыдан алынған туынды - [pic 6]- ші ретті туынды деп аталады және сәйкес мына түрде жазылады

[pic 7].

[pic 8], мұндағы  [pic 9]  болсын. Онда

[pic 10]

[pic 11]

  Егер функция параметрлік түрде берілсе, яғни  [pic 12] [pic 13] бұл функцияның бірінші ретті туындысы [pic 14], ал екінші ретті туындысы

                                      [pic 15]

формуласымен есептелінеді.

1-мысал.    [pic 16] 

Табу керек [pic 17].

Шешуі:   [pic 18]

  [pic 19]     [pic 20]

      [pic 21]

2-мысал.   [pic 22] ,  [pic 23] параметрлі түрде берілген функцияның бірінші және екінші ретті туындыларын табу керек. 

Шешуі:                            

[pic 24]                                    [pic 25].

           Жоғарғы ретті туындыларға сәйкес, функцияның бірінші ретті дифференциалынан алынған дифференциал – екінші, ал екінші ретті дифференциалдан алынған дифференциал – үшінші, сол сияқты [pic 26]- ші ретті дифференциалдан алынған дифференциал [pic 27]- ші ретті дифференциал деп аталады.

           Егер [pic 28] функциясының  [pic 29]- ші ретті туындысы болса, онда

[pic 30];

[pic 31];

[pic 32];

[pic 33]

теңдіктерін аламыз.

3-мысал.   [pic 34] функциясының бірінші, екінші және үшінші ретті дифференциалдарын табу керек.

Шешуі: [pic 35]

[pic 36]  [pic 37]

Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремалары

         Туынды ұғымы функцияларды зерттеу кезінде, олардың графиктерін салуда қолданылады. Туындыны қолдана білу үшін біз дифференциалдық есептеудің бірнеше негізгі теоремаларымен танысуымыз керек.

        Ферма теоремасы.  Егер [pic 38]  сегментінде дифференциалданатын [pic 39]  функциясы осы сегменттің ішінде жатқан бір [pic 40]нүктесінде өзінің ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдаса, онда оның туындысы [pic 41] нүктесінде нөлге тең болады, яғни [pic 42]

          Ролль теоремасы.          Егер [pic 43]  сегментінде үзіліссіз [pic 44]  функциясы  [pic 45] интервалында дифференциалданатын болса және [pic 46] орындалса, онда [pic 47]  интервалында жатқан ең болмағанда бір [pic 48]  нүктесінде функцияның туындысы нөлге тең болады, яғни [pic 49]

 Бұл теореманың геометриялық мағынасы: Үзіліссіз, әрбір нүктесінде жанамасы бар қисық Ох осін х=a, x=b нүктелерінде қиса, онда бұл қисықтың бойынан жанамасы Ох осіне параллель болатын кемінде бір нүкте табылады.

        Лагранж теоремасы. Егер [pic 50]  сегментінде үзіліссіз [pic 51]  функциясы  [pic 52]  интервалында дифференциалданатын болса, онда

[pic 53]

теңдігі орындалатын [pic 54]  интервалынан ең болмағанда бір [pic 55]  нүктесі табылады. 

Бұл теореманың геометриялық мағынасы:   [pic 56] шамасы АВ қимасының бұрыштық коэффициентіне тең, ал [pic 57] - жанаманың бұрыштық коэффициенті. Лагранж теоремасы бойынша [pic 58] нүктесі табылып, сол [pic 59] нүктесіндегі жанама АВ қимасына параллель болады. Ондай нүкте бірнешеу болуы мүмкін.