Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Исследование функции с помощью произ

ЛЕКЦИЯ 13-14

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Исследование функции с помощью производной.

 цель лекции: ввести понятие экстремума функции, точки перегиба, рассмотреть основные теоремы (Ролля, Лагранжа, Коши), применение правила Лопиталя,

 ключевые слова (термины): исследование функции, возрастание, убывание, график

основные вопросы (положения) и краткое содержание

 Теорема Ролля.  Если функция  [pic 1],  непрерывная на отрезке   [pic 2],  дифференцируема  во всех внутренних точках этого отрезка и на концах этого отрезка принимает равные значения  [pic 3] то в  существует по крайней мере одна точка  [pic 4], такая что    [pic 5].

           Эта теорема имеет простое геометрическое толкование: если геометрическая кривая, имеющая в каждой точке касательную, то на этой кривой найдется  по крайней мере одна точка в которой касательная параллельна оси  ОХ.

            Теорема Лагранжа.  Если функция  [pic 6] непрерывна на отрезке  [pic 7]    и дифференцируема в интервале  [pic 8]  то в этом интервале найдется по крайней мере одна точка  [pic 9], что     [pic 10]                                            (4.19)

             Геометрический смысл равенства  (4.19)  состоит в следующем:  если во всех   точках дуги кривой  [pic 11]  существует касательная,  то на этой дуге  кривой  найдется точка  [pic 12], в которой касательная параллельна хорде,  стягивающей эту дугу кривой.

          Теорема  Коши.  Если функции  [pic 13] и  [pic 14], дифференцируемы в интервале  [pic 15]  и   [pic 16]  в этом интервале, то в интервале   [pic 17]  существует такая точка [pic 18], что имеет место равенство        [pic 19]                                               (4.20)

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя  предлагает прием раскрытия неопределенности вида  [pic 20]  и  [pic 21].  

Рассмотрим  отношение[pic 22],  где функции   [pic 23]  и  [pic 24]  определены и дифференцируемы  в некоторой окрестности точки  а, исключая, быть может , саму точку  а.  Пусть далее эти функции одновременно являются бесконечно малыми или бесконечно большими.

           Теорема (Правило Лопиталя).  Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших равен пределу отношения их производных, если последние существуют, т.е:    [pic 25].

             Примеры:   Вычислить пределы:

1.  [pic 26]
2. [pic 27]

Иногда правило Лопиталя приходится применять  несколько раз.

             Пример:     [pic 28]

           Правило Лопиталя верно и при   [pic 29].  

           Пример:      [pic 30]

Случаи других неопределенностей   [pic 31]с помощью тождественных преобразований сводятся к основным типам неопределенности  [pic 32]  или   [pic 33].

            Пример. Вычислить  [pic 34].

           Здесь мы имеем неопределенность [pic 35].

           Переписывая данное выражение в виде     [pic 36] 

получаем неопределенность вида [pic 37]. Применяя правило Лопиталя,  получим

                            [pic 38].

           Пример.  Вычислить  предел:  [pic 39] 

           Данное выражение приводит к неопределенности вида  [pic 40]

          Проведя тождественные преобразования,  получим:

                          [pic 41].

         Так как получилась неопределенность вида [pic 42], то применим правило Лопиталя: