Кривые и поверхности второго порядка

Кафедра высшей математики

«Кривые и поверхности второго порядка»

Дубна 2002

Оглавление

Введение

Часть I. Исследование кривой второго порядка

1. Определение типа кривой с помощью инвариантов

2. Приведение к каноническому виду

3. Построение графиков

4. Вывод

Часть II. Исследование поверхности второго порядка        

1. Определение типа поверхности.

2. Приведение к каноническому виду

3. Исследование формы поверхности методом сечений

4. Графики уравнения поверхности.

5. Вывод

Введение

Цель:

Целью данной курсовой работы является исследование кривой и поверхности второго порядка. Закрепление теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.

Постановка задачи:

1. Для данного уравнения кривой второго порядка:

1. Определить тип кривой с помощью инвариантов.
2. При α=0 записать каноническое уравнение прямой и определить расположение центра
3. Привести уравнение к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот координатных осей.

1. Для данного уравнения плоскости второго порядка:

1. Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях.
2. Построить поверхность в канонической системе координат.

Часть I. Исследование кривой второго порядка

1. Определение типа кривой с помощью инвариантов

Для данного уравнения кривой второго порядка:

(5 - α)x2 + 4xy + 3y2 + 8x – 6y +5 = 0         (3.1)

определить зависимость типа кривой от параметра α с помощью инвариантов.

Для данного уравнения кривой второго порядка:

a11 = 5 - α, a12 = 2, a13 = 4, a22 = 2, a23 = -3, a33 = 5

Вычислим инварианты:

I1 = a11 + a22 = (5 - α) +2 = 7 - α

I2 == = (5 - α)2 – 4 = 6 -2α

I2 === (5 - α)10-24-24-32-9(5 - α)-20 = -α-95

Согласно классификации кривых второго порядка:

1. Если I2 = 0, то данное уравнение (3.1) определяет кривую параболического типа:

I2  = 6 - 2α = 0, следовательно, при α = 3 уравнение определяет кривую параболического типа.

При α = 3 I3  = - α - 95 = -3 - 95 = 98 № 0. Значит, при α = 3 уравнение (3.1) задаёт параболу.

II.        Если I2 № 0, то задаваемая кривая является центральной. Следовательно, при α № 3 данное уравнение задаёт центральную кривую.

1. Если I2 > 0, то уравнение задаёт кривую эллиптического типа:

Значит, при α < 3 уравнение (3.1) задаёт кривую эллиптического типа.

1. Если I1 I3 < 0, то уравнение определяет эллипс:

I1 I3 = - (7 - α)(α+95) = α2+88α-665 < 0, при решении получаем α О (-95 , 7). Следовательно, при α О (-95 , 3) уравнение (3.1) задаёт эллипс.

b.        Если I1 I3 > 0, то уравнение определяет эллипс:

I1 I3 = α2+88α-665 > 0, при решении получаем α О (-Ґ, -95). Следовательно, при α О (-Ґ , -95) уравнение (3.1) задаёт мнимый эллипс.

...