Гамільтоновий аналіз нелінійної динамічної системи Хірота-Сатсума

Гамільтоновий аналіз

нелінійної динамічної системи

Хірота-Сатсума

Дипломна робота

Львів 2010

Зміст

Вступ        3

1. Постановка завдання        5

2. Теоретичні відомості        6

2.1. Нелінійні динамічні системи        6

2.2. Метод малого параметра побудови ньотерових операторів        10

2.3. Метод tanh-функції для побудови точних розв’язків нелінійних ДРЧП        15

2.4. Солітони        16

3. Гамільтоновий аналіз системи Хірота-Сатсума        19

3.1. Закони збереження        19

    3.2. Імплектичні оператори…………………………………………………..22

3.3 Солітонні розв’язки        29

3.4. Графічна інтерпретація розв’язків системи Хірота-Сатсума        33

Висновок        34

Список використаної літератури        35

Вступ

Теорія інтегровних нелінійних рівнянь та динамічних систем і пов'язана з нею теорія солітонів за останні чотири десятиліття збагатила і розширила область математичних досліджень.

Дослідження нелінійних рівнянь та динамічних систем відіграє важливу роль у сучасній науці. Теорія інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем перетворилась в окрему галузь сучасної теорії диференціальних рівнянь і математичної фізики.

Нелінійні динамічні системи використовуються у різних сферах науки та у багатьох дослідженнях - це гідродинаміка, фізика плазми, фізика твердого тіла, нелінійна оптика, теорія поля та квантова статистична механіка, фізика феромагнетиків.

При дослідженні нелінійних рівнянь принципово важливим є питання їх класифікації на інтегровність. В загальному випадку не існує методу такої класифікації. В кожному конкретному випадку відповідь на це питання може дати явне представлення типу Лакса. Нелінійні системи, що допускають таке представлення, володіють певними властивостями. Так спеціальний характер їх динаміки тісно пов’язаний з наявністю нескінченної ієрархії законів збереження. Результатом досліджень з’явилась нова область сучасної теорії нелінійних диференціальних рівнянь – теорії цілком інтегрованих динамічних систем, де актуальними в даний час є наступні задачі: класифікація, тобто побудова критеріїв інтегровності нелінійних динамічних систем, розширення класу відомих цілком інтегрованих динамічних систем; побудова точних розв’язків; вивчення диференціально–геометричних, алгебраїчних і гамільтонових аспектів теорії нелінійних динамічних систем; використання результатів даної теорії в інших розділах теорії нелінійних диференціальних рівнянь і т. д.

Протягом останніх десятиліть відбулись значні зміни в розумінні того

класу нелінійних рівнянь з частковими похідними, які зазвичай прийнято називати еволюційними. Виявилось, що список фундаментальних рівнянь можна продовжити. До нього потрібно додати декілька суттєво нелінійних рівнянь, принаймні три з них: рівняння Кортевега - де Фріза (КдФ), нелінійне рівняння Шредінгера (НШ) і рівняння sin-Gordon. Вони, виникаючи в самих різноманітних фізичних, в основному у гідродинаміці, в задачах механіки, стали за рівнем універсальності поряд із основними рівняннями математичної фізики.

Ці рівняння мають багато спільного. Всі вони володіють спеціальними

нелінійними частковими розв'язками, локалізованими в просторі і часі - солітонами. Солітони, стикаючись між собою, можуть утворювати зв'язні стани і загалом поводять себе часто як класичні частинки. Згадані рівняння володіють також винятковою особливістю "повної інтегровності", в тому розумінні, що вони володіють нескінченними наборами комутуючих інтегралів руху. Крім цього, існує процедура ефективного дослідження цих рівнянь, яка дозволяє, зокрема, точно обчислювати нескінченні серії їх часткових розв'язків.