Общее уравнение линий второго порядка

Аналитическая геометрия

Общее уравнение линий второго порядка

Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке [pic 1], оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и b. Поместим в центре эллипса [pic 2]  начало новой системы координат [pic 3], оси которой [pic 4] и [pic 5] параллельны соответствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны (см.рис.41).

В этой системе координат уравнение Рис.41.[pic 6]

эллипса имеет вид[pic 7]

[pic 8]

Так как [pic 9], то в старой системе координат 

уравнение эллипса запишется в виде

[pic 10]

Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке [pic 11]  и полуосями а и Ь (см. рис. 42):

[pic 12]

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 43, имеют соответствующие уравнения.

 [pic 13][pic 14]

  [pic 15] [pic 16]

 [pic 17][pic 18]

 [pic 19]  [pic 20]

Уравнение Ac2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности [pic 21]  после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

 [pic 22] (11.14)

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка?

Ответ дает следующая теорема.

  Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А • С > 0), либо гиперболу (при А • С < 0), либо параболу (при АС = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением [pic 23] 

Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс [pic 24]. Действительно, проделаем следующие преобразования:

[pic 25]

[pic 26]

  Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в [pic 27] и полуосями [pic 28] и [pic 29] .

  Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением х2 + 10х - 2у + 11 = 0.

Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действительно,

[pic 30]

[pic 31].

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке [pic 32]  и [pic 33]. 

  Пример 11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением[pic 34].

  Решение: Преобразуем уравнение: 

[pic 35]

  Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые [pic 36]

Общее уравнение второго порядка

 Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными:

 Ax2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F == 0. (11.15)

Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат[pic 37]. Можно, путем поворота координатных осей на угол [pic 38], преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.