Контрольная работа по "Аналитической геометрии"
Автор: Petr1108 • Ноябрь 13, 2023 • Контрольная работа • 787 Слов (4 Страниц) • 133 Просмотры
Аналитическая геометрия
Вариант 9
Задание 1
Цилиндр ∑ в задан своим сечением x2 + 2xy + 2y2 + 4x + 4y +3 = 0 с плоскостью z=0 и направлением прямолинейных образующих. Найти плоскость, сопряженную направлению относительно цилиндра ∑.[pic 1][pic 2][pic 3]
Решение:
Так как вектор m параллелен плоскости z =0, то достаточно построить прямую l в плоскости z=0, сопряженную направлению (α,β) относительно кривой x2 + 2xy + 2y2 + 4x + 4y +3 = 0 и провести через нее плоскость параллельную вектору v.
Прямая l задается равенством
α(2a11x + 2a12y + 2a1) + β(2a12x + 2a22y + 2a2) = 0, то есть
x(a11α + a12β) + y(a12α + a22β)+zC +a1α + a2β = 0.
1(2*1*x + 2*1*y + 2*1) + 1(2*1*x+2*1*y + 2*2)=0
2x+2y+2+2x+2y+4 = 0
2x+2y+3=0
Так как искомая плоскость при пересечении с плоскостью z=0 дает прямую l, то её уравнение будем искать в виде
x(a11α + a12β) + y(a12α + a22β) + zC + a1α + a2β = 0,
где коэффициент С найдем из равенства
ξ(a11α + a12β) + η(a12α + a22β) + ζC = 0,
которое выражает ортогональность вектора v и вектора нормали искомой плоскости.
Искомая плоскость задается уравнением
x(a11α+a12β)+y(a12α+a22β)−z ζ [ξ(a11α + a12β) + η(a12α + a22β)]+a1α+a2β = 0.
В нашем примере:
2*x +2*y + 3 +zC = 0
2*(1*1 + 1*1) + 3(1*1 + 2*1) – 13C = 0
4 + 9 -13C = 0
C=1
[pic 4]
[pic 5]
Задание 2
Составить уравнение цилиндрической поверхности, если направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору {1;2;-1}.[pic 6]
Решение:
Уравнение цилиндрической поверхности:
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
M0 (1, 2, -1)
[pic 10]
x0 найдем из равенства [pic 11]
x0=z+x
y0 найдем из равенства [pic 12]
y0=2z+x
Подставим значения x0 y0 в уравнение цилиндрической поверхности, получим
[pic 13]
Задание 3
Составить уравнение канонической поверхности: вершина которой находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями
[pic 14]
Решение
Пусть точка М (x,y,z) – произвольная точка канонической поверхности. Проведем через эту точку образующую l, она пересечет направляющую в точке N (x0, y0, z0). Запишем канонические уравнения прямой l, как уравнения прямой ,проходящей через точку N и вершину конуса О(0, 0, 0)
[pic 15]
[pic 16]
Или
[pic 17]
Выразим из последней системы x0 и y0: . Так как точка N лежит на направляющей канонической поверхности, то её координаты должны удовлетворять уравнениям направляющей:[pic 18]
[pic 19]
Подставим найденные выражения во второе уравнение системы
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
Тогда
[pic 24]
Подставляем (1) и (2) в первое уравнение системы
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
Полученное уравнение является искомым уравнением конической поверхности.
Ответ: [pic 28][pic 29]
Задание 4
Найти уравнения диаметральных плоскостей для поверхности x2 – 10x + 3y2 + 18 = 0, которые бы касались эллипсоида [pic 30]
...