Плоская задача теории упругости в полярных координатах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ИМЕНИ И. М. ГУБКИНА»

Кафедра технической механики

Реферат

по дисциплине: «Основы теории упругости, теории пластичности и механики разрушения»

на тему «Плоская задача теории упругости в полярных координатах»

Москва

 2018

Оглавление

1. Введение………………………………………………………………….....3
2. Общие уравнения равновесия в полярных координатах……………………..………………………………………….4
3. Основные уравнения равновесия…………………………………………5
4. Геометрические уравнения ……………………………………………….8
5. Физические уравнения…………………………………………………....10
6. Статические уравнения…………………………………………………...11
7. Соотношения, связанные с функцией напряжений……………………..13
8. Заключение……………………………………………………………….. 15
9. Список используемой литературы……………………………………….16

Плоская задача теории упругости в полярных координатах.

1. Введение

Теория упругости – раздел механики сплошных сред, изучающий деформации упругих твёрдых тел, их поведение при статических и динамических нагрузках. Главная задача теории упругости – выяснить, каковы будут деформации тела и как они будут меняться со временем при заданных внешних воздействиях. [1]

Цель моего реферата - изучить плоскую задачу теории упругости в полярных координатах, вывести основные уравнения, закон Гука в полярных координатах, а также выяснить, когда задачу теории упругости удобнее решать в полярных координатах.  Данная тема является актуальной и по сей день, поскольку ряд задач теории упругости удобно решать не в прямоугольных, декартовых координатах, а в полярной системе координат. Если тело имеет форму кругового цилиндра или ограничено радиальными и круговыми сечениями цилиндра, плоскую задачу проще решать не в прямоугольных, а в полярных координатах.

1. Общие уравнения плоской задачи в полярных координатах

[pic 1]

Рисунок 2.1

При решение плоской задачи встречаются тела, ограниченные поверхностями кругового цилиндра и радиально расходящимися плоскостями. В этих случаях переход от декартовой системы координат к полярной значительно упрощаем наше решение. В полярной системе координат положение абсолютно любой точки плоскости можно определить двумя величинами: радиус-вектором r и полярным углом [pic 2] (Рисунок 2.1). Совместим полюс полярной системы координат (r ,[pic 3]) с началом декартовой системы координат (x,y), а полярную ось совместим с осью абсцисс Ox ( Рисунок 2.1). А теперь выясним связь между координатами т.М  в полярной и декартовой системах координат:
x = rcos[pic 4]; y = rsin[pic 5].     (2.1)

Обратные зависимости имеют вид:

r =  ; cos[pic 7]=  =  ; sin[pic 10]=  =                 (2.2)[pic 6][pic 8][pic 9][pic 11][pic 12]

1. Основные уравнения равновесия

Вырежем из пластинки бесконечной малый элемент (Рисунок 3.1) двумя радиальными плоскостями, образующими угол dθ, и двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и r+ dr.

[pic 13]

Рисунок 3.1

Введем обозначения для напряжений:

σr -  нормальные напряжения по направлению радиуса, или радиальные напряжения;

[pic 14]- нормальные напряжения в перпендикулярном направлении, или тангенциальные напряжения;