О некоторых применениях бесселевы функции в уравнениях математической физики

О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ В УРАВНЕНИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Смагулова С. С.

студент, ПГПУ, г. Павлодар

Машрапов Н. К.

профессор, ПГПУ, г. Павлодар

Среди специальных функций – цилиндрические или бесселевы функции являются едва ли не важнейшими и особенно хорошо изученными.

Функции Бесселя названы по имени немецкого астронома Фридриха Бесселя, который в работе 1824 года, изучая движение планет вокруг солнца, вывел рекуррентные соотношения для функций [pic 1],[pic 2] и составил первые таблицы для функций [pic 3], [pic 4], [pic 5].

Однако впервые одна из функций Бесселя [pic 6] была рассмотрена еще в 1732 году Даниилом Бернулли в работе, посвященной колебанию тяжелых цепей. Д. Бернулли нашел выражение функции [pic 7] в виде степенного ряда и заметил, что уравнение [pic 8] имеет бесчисленное множество действительных корней.

Следующей работой, в которой встречаются функции Бесселя, была работа Леонарда Эйлера 1738 года, посвященная изучению колебаний круглой мембраны. В этой работе Л. Эйлер нашел для целых [pic 9] выражение функции Бесселя [pic 10]  в виде ряда по степеням [pic 11]. Кроме того, Л. Эйлер доказал, что для [pic 12], равного целому числу с половиной, функции [pic 13] выражаются через элементарные функции.

Во многих задачах математической физики, решение которых связано с применением цилиндрических и сферических координат, процесс разделения переменных приводит к дифференциальному уравнению

[pic 14],                                                                                   (1.1)

которое называется уравнением Бесселя, а его решения – цилиндрическими или бесселевыми функциями. Так как уравнение (1.1) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, следовательно, его общий интеграл может быть записан в форме

[pic 15],  где [pic 16], [pic 17] - линейно независимые частные решения уравнения (1.1).

Будем искать решение уравнения (1.1) в виде обобщенного степенного ряда по возрастающим степеням аргумента [pic 18]:

[pic 19].                                                                                                         (1.2)

Определим здесь [pic 20] и коэффициенты [pic 21] ряда (1.2). Для этого найдем первую и вторую производные (1.2) и внесем в левую часть уравнения (1.1) взамен функции [pic 22] и ее производных полученные ряды.

В итоге получим формально первое частное решение уравнения (1.1) в виде

[pic 23];

при [pic 24] получим второе частное решение

[pic 25].

Первый ряд [pic 26] определяет функцию, которая называется бесселевой или цилиндрической функцией первого рода или функцией Бесселя индекса [pic 27]от аргумента [pic 28]:

[pic 29],                                                                                 (1.3)

второй ряд определяет функцию Бесселя отрицательного индекса [pic 30]

[pic 31].                                                                                   (1.4)

Ранее было показано, что при нецелом индексе общее решение уравнения Бесселя можно записать в виде

[pic 32].

Очевидно, что в этом случае решением будет также

[pic 33],

где

[pic 34]. Здесь [pic 35] не зависят от аргумента [pic 36]; [pic 37].

Если положить [pic 38], [pic 39], то получим функцию, которая была введена Вебером и обозначается [pic 40]:

[pic 41].                                                                                           (2.1)

В литературе она часто называется функцией Неймана и иногда обозначается через [pic 42]. Функция [pic 43] называется также бесселевой или цилиндрической функцией второго рода индекса [pic 44] от аргумента [pic 45].