Определение уравнения прямой линии регрессии методом наименьших квадратов

Определение уравнения прямой линии регрессии

 методом наименьших квадратов.

   Рассмотрим набор из n экспериментальных данных, определяющих зависимость 2-х физических величин x и y (y зависит от x).

   Все опыты можно условно разделить на 2 группы, положив в основу такой критерий, как цель проведения эксперимента:

1. исследование вида функциональной зависимости (линейная, квадратичная, показательная и т.д.);
2. подтверждение функциональной зависимости, установленной раннее либо теоретически, либо другими экспериментальными методами.

   Обработка опытов обоих групп не имеет существенных (!) различий.

   Предположим,  что величины x и y связаны функциональной зависимостью

[pic 1].

  В опытах, относящихся к первой группе, необходимо определить: 1) вид этой зависимости и 2) параметры зависимости, ко второй группе - только параметры зависимости.

   Под определением вида функциональной зависимости понимается установление принципиальной формы графика (прямая линия, квадратичная парабола и т.п.) и общего вида функции [pic 2]; под определением параметров – установление значений коэффициентов( для [pic 3], параметрами являются k и b и т.д.).

   Рассмотрим случай, когда величины x и y имеют линейную зависимость (табл. 1):

Таблица 1.                                                            

   На координатной плоскости экспериментальные точки располагаются не совсем правильным образом – дают некоторый «разброс», т.е. обнаруживают случайные отклонения от видимой общей закономерности (рис. 1). Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения.  Известно, что через любые n точек с координатами [pic 7] всегда можно провести кривую (такая кривая аналитически выражается полиномом степени (n-1)), чтобы она в точности прошла через каждую из точек. Однако такое решение вопроса обычно не является удовлетворительным: как правило, нерегулярное поведение экспериментальных точек связано не с объективным характером зависимости y от x, а исключительно с ошибками измерения.