Интерполяция полинома Ньютона и метод наименьших квадратов
Автор: Тимур Егоров • Апрель 14, 2020 • Контрольная работа • 446 Слов (2 Страниц) • 464 Просмотры
Задание для выполнения расчетно-графической работы
Выполнить аппроксимацию экспериментальных данных двумя методами: с помощью интерполирования путем построения интерполяционного многочлена Ньютона и среднеквадратического приближения путем построения модели регрессиизаданного вида.
По результатам построения интерполяционного многочлена оценить погрешность интерполяции(величину остаточного члена интерполяционного многочлена), вычислить приближенные значения функции в заданных точках.
По результатам построения модели регрессии выписать уравнение регрессии, оценить качество модели регрессии, проверить значимость уравнения регрессии и его параметров, вычислить приближенные значения функции в двух заданных точках.
Построить на одном графике табличные значения и графики двух аппроксимирующих функций.
Задача №1. Интерполяция с помощью полинома Ньютона.
Для начала построим таблицу разделенных разностей:
X | Y | d+1 | d+2 | d+3 | d+4 | d+5 | d+6 | d+7 | d+8 | d+9 |
0,18 | 5,61543 | -0,1485 | 0,00791 | -0,00062 | 8E-05 | -4E-05 | 6E-05 | -0,00011 | 0,0002 | -0,00034 |
0,185 | 5,46693 | -0,14059 | 0,00729 | -0,00054 | 4E-05 | 2E-05 | -5E-05 | 9E-05 | -0,00014 |
|
0,19 | 5,32634 | -0,1333 | 0,00675 | -0,0005 | 6E-05 | -3E-05 | 4E-05 | -5E-05 |
|
|
0,195 | 5,19304 | -0,12655 | 0,00625 | -0,00044 | 3E-05 | 1E-05 | -1E-05 |
|
|
|
0,2 | 5,06649 | -0,1203 | 0,00581 | -0,00041 | 4E-05 | 6,22E-15 |
|
|
|
|
0,205 | 4,94619 | -0,11449 | 0,0054 | -0,00037 | 4E-05 |
|
|
|
|
|
0,21 | 4,8317 | -0,10909 | 0,00503 | -0,00033 |
|
|
|
|
|
|
0,215 | 4,72261 | -0,10406 | 0,0047 |
|
|
|
|
|
|
|
0,22 | 4,61855 | -0,09936 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,225 | 4,51919 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее запишем полином Ньютона в общем виде:
Для построения полинома будем использовать первые три порядка (ввиду малозначимости остальных)
[pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
В таком случае:
[pic 5]
[pic 6]
Задача №2.
В методе наименьших квадратов требуется, чтобы εi, разность между измеренными yi и вычисленными по уравнению значениям Yi, была минимальной. Следовательно, находим коэффициенты а и b так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от значений на прямой линии регрессии оказалась наименьшей:
...