Фильтры сглаживания. Метод наименьших квадратов

ФИЛЬТРЫ СГЛАЖИВАНИЯ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

Содержание

Введение.

1. Фильтры МНК 1-го порядка. Расчет коэффициентов фильтра. Им-пульсная реакция фильтра. Частотная характеристика фильтра. Модификация фильтра. Оптимизация сглаживания. Последовательная фильтрация.

2. Фильтры МНК 2-го порядка. Расчет фильтров. Частотные характери-стики фильтров. Модификация фильтров. Последовательная фильтрация.

3. Фильтры МНК 4-го порядка.

4. Расчет простого цифрового фильтра по частотной характеристике.

ВВЕДЕНИЕ

Основной инструмент цифровой фильтрации данных и проектирования цифровых фильтров – спектральный (частотный) анализ. Частотный анализ базируется на использовании периодических функций, в отличие от численных методов анализа и математической статистики, где предпочтение отдается полиномам. В качестве периодических используются гармонические функции синусов и косинусов. Спектральный состав сигналов – это тонкая внутренняя структура данных, которая практически скрыта в динамическом представлении данных даже для опытных обработчиков. Частотная характеристика цифрового фильтра – это его однозначный функциональный паспорт, полностью определяющий сущность преобразования входных данных.

Следует отметить, что хотя цель фильтрации сигналов состоит именно в направленном изменении частотного состава данных, которые несет сиг-нал, у начинающих специалистов существует определенное эмоциональное противодействие частотному подходу в анализе данных. Преодолеть это про-тиводействие можно только одним путем – на опыте убедиться в эффектив-ности частотного подхода.

Рассмотрим пример частотного анализа фильтров при сглаживании данных методом наименьших квадратов (МНК).

3.1. ФИЛЬТРЫ МНК 1-го ПОРЯДКА [24].

Предположим, что требуется осуществить сглаживание (аппроксима-цию) равномерного по аргументу массива данных методом наименьших квадратов (МНК).

Расчет коэффициентов фильтра. Простейший способ аппрок-симации по МНК произвольной функции s(t) - с помощью полинома первой степени, т.е. функции вида y(t) = A+Bt (метод скользящих средних). Произведем расчет симметричного фильтра МНК на (2N+1) точек с окном от -N до N.

Для определения коэффициентов полинома найдем минимум функции остаточных ошибок приближения. С учетом дискретности данных по точкам tn = nt и принимая t = 1, для симметричного НЦФ с нумерацией отсчетов по n от центра окна фильтра (в системе координат фильтра), функция оста-точных ошибок записывается в форме:

(A, B) = [sn - (A+B•n)]2.

Дифференцируем функцию остаточных ошибок по аргументам А, В, и, приравнивая полученные уравнения нулю, формируем 2 нормальных урав-нения с двумя неизвестными:

(sn-(A+B•n))  sn - A 1 - B n = 0,

(sn-(A+B•n))•n  nsn - A n - B n2 = 0.

С учетом равенства n = 0, решение данных уравнений относительно А и В:

А = sn , B = nsn / n2.

Подставляем значения коэффициентов в уравнение аппроксимирующе-го полинома, переходим в систему координат по точкам k массива y(k+) = A+B•, где отсчет  производится от точки k массива, против которой нахо-дится точка n = 0 фильтра, и получаем в общей форме уравнение фильтра ап-проксимации:

y(k+) = sk-n +  nsk-n / n2.

Для сглаживающего НЦФ вычисления производятся непосредственно для точки k в центре окна фильтра (= 0), при этом:

yk = sk-n. (3.1.1)

Рис. 3.1.1.

Импульсная реакция фильтра соответственно определяется (2N+1) значениями коэффициентов bn = 1/(2N+1). Так, для 5-ти точечного НЦФ:

h(n) = {0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2}.

Передаточная функция фильтра