Контрольная работа по "Теоретической механике"

Теоретическая механика

Контрольная работа

Шифр 31

Вариант 1

Задача 1

Пассажирский лифт веса Р=800кг опускается вниз с ускорением w=0,4g, где ускорение силы тяжести g=9,81 м/с2. Определить натяжение поддерживающего троса, если сила сопротивления движению F равна 0,2 веса лифта. Лифт считать точечной массой.

Дано: [pic 1]кГ[pic 2]Н; [pic 3]м/с2;

[pic 4]Н.

Найти: [pic 5] – силу натяжения поддерживающего троса.

Решение

Рассмотрим лифт в состоянии равноускоренного движения вниз с ускорением [pic 6] (рис.1).

[pic 7]

Рис.1. Расчетная схема к задаче 1

На лифт действуют силы: сила тяжести лифта [pic 8], направленная вертикально вниз и по модулю равная весу лифта, то есть [pic 9]Н; сила сопротивления движению лифта [pic 10], направленная вертикально вверх и реакция троса [pic 11], равная его натяжению. Указанные силы не образуют уравновешенной системы сил, так как лифт движется с ускорением. Добавим к имеющимся силам силу инерции [pic 12], действующую на лифт, направив ее вверх – противоположно ускорению [pic 13].

Тогда система сил [pic 14], [pic 15], [pic 16] и [pic 17] уравновешена, следовательно, сумма их проекций на вертикальную ось равна нулю:

[pic 18];         [pic 19],                                                (1)

где модуль силы инерции равен [pic 20]Н.

Из уравнения (1) находим искомое натяжение троса

[pic 21]Н.

Ответ: [pic 22]Н.

Задача 2

Груз А спускается вниз по негладкой наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту, двигаясь согласно уравнению x=bgt2, где g – ускорение силы тяжести, а b — постоянный коэффициент. Определить модуль силы трения скольжения груза о плоскость.

Дано: α; [pic 23].

Найти: [pic 24].

Решение

Пусть [pic 25] – масса груза А. Рассмотрим его движение по наклонной плоскости (рис.2). На груз при его движении действуют следующие силы: сила тяжести [pic 26], сила реакции опоры [pic 27], сила трения [pic 28]. Выберем оси координат: ось [pic 29] направим вдоль вектора ускорения, то есть вдоль наклонной плоскости, ось [pic 30] – перпендикулярно ей.

[pic 31]

Рис.2. Расчетная схема к задаче 2

Запишем II закон Ньютона в векторной форме

[pic 32].

Запишем это уравнение в проекциях на выбранные оси координат:

        на ось [pic 33]:                [pic 34];                                (1)

        на ось [pic 35]:                [pic 36],                                        (2)

где        [pic 37] и [pic 38] – проекции силы тяжести на оси [pic 39] и [pic 40].

Из рис.2 имеем [pic 41] и [pic 42]. Кроме того, ускорение тела определим, используя тот факт, что вторая производная от перемещения по времени равна ускорению, то есть

[pic 43].

С учетом указанных пояснений уравнение (1) примет вид

[pic 44],

откуда искомая сила трения будет равна