Уравнение теплопроводности плоской стенки

Уравнение теплопроводности плоской стенки. Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через плоскую стенку (рис. 3), длина и ширина которой несравненно больше ее толщины; ось х расположена по нормали к поверхности стенки. 

[pic 1]

Рис. 3. К выводу уравнения теплопроводности плоской стенки.

Температуры наружных поверхностей стенки равны tСТ1 и tСТ2, причем tСТ1 > tСТ2. При установившемся процессе количества тепла, подведенного к стенке и отведенного от нее, должны быть равны между собой и не должны изменяться во времени.

Примем, что температура изменяется только в направлении оси х,

т. е. температурное поле одномерное ([pic 2] и [pic 3]). Тогда на основании уравнения теплопроводности (11) имеем: 

[pic 4] (11a)

Интегрирование этого уравнения приводит к функции

t=C1x+C2 (12)

где C1 и C2 — константы интегрирования.

Уравнение (12) показывает, что по толщине плоской стенки температура изменяется прямолинейно.

Константы интегрирования определяют исходя из следующих граничных условий:

при x=0 величина t=tСТ1 и из уравнения (12)

tСТ1=С2

при x=[pic 5] величина t=tСТ2 и уравнение (12) принимает вид

tСТ2=С1[pic 6]+С2

или

tСТ2=С1[pic 7]+ tСТ1

откуда 

[pic 8]

Подставив значения констант С1 и С2 в уравнение (12) находим

[pic 9]

Тогда 

[pic 10]

Подставив полученное выражение температурного градиента в уравнение теплопроводности (8), определим количество переданного тепла:

[pic 11]

или 

[pic 12] (13)

где [pic 13] — коэффициент теплопроводности материала стенки;[pic 14] — толщина стенки;

[pic 15] — разность температур поверхностей стенки; F — поверхность стенки; [pic 16] — время.

Для непрерывного процесса передачи тепла теплопроводностью при [pic 17] = 1 уравнение (13) принимает вид

[pic 18] (13a)

Уравнения (13) и (13а) являются уравнениями теплопроводности плоской стенки при установившемся процессе теплообмена.

Если плоская стенка состоит из n слоев, отличающихся друг от друга теплопроводностью и толщиной (рис. 4), то при установившемся процессе через каждый слой стенки пройдет одно и то же количество тепла, которое может быть выражено для различных слоев уравнениями: 

[pic 19] или [pic 20] 

[pic 21] или [pic 22]

……………………………. …….………………………..

[pic 23] или [pic 24]

Складывая левые и правые части второго столбца этих уравнений, получим

[pic 25]

откуда 

[pic 26]

где i — порядковый номер слоя стенки; n — число слоев.

Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки. Рассмотрим передачу тепла теплопроводностью через цилиндрическую стенку длиной L внутренним радиусом rВ и наружным радиусом rН (рис.5). 

[pic 27]

Рис. 4. К выводу уравнения теплопроводности плоской многослойной стенки.

[pic 28]

Рис. 5. К выводу уравнений теплопроводности цилиндрической стенки.