Теория автоматического управления

Классификация САУ

Разделяется по принципам управления:

• Разомкнутого управления
• Компенсации
• Обратной связи

Ошибки САУ:

• Статическая
• Динамическая
• Система в которой статич. Ошибка не 0 называется статической
• Система в которой =0 называется статической

Анализ САУ: предъявляемыми к системе автоматического управления, являются: устойчивость, точность обработки, задающего воздействия, нечуствительность к мешающим воздействиям и качество переходного процесса. Указанные требования выражают через числовые характеристики, называемые показателями качества САУ.

ТАУ. Передаточные функции

Динамическая система в теории автоматического управления может быть задана в виде системы дифференциальных уравнений:

[pic 1]

Где   - переменные пространства состояний,    - их значения в начальный момент[pic 2][pic 3]

 времени,    - входы системы.[pic 4]

 Здесь все переменные зависят от времени.

Выходы системы обозначены буквами    - просто функции от переменных состояния, поэтому они задаются в виде алгебраических, не дифференциальных уравнений. [pic 5]

Это наиболее общий случай. Будем упрощать задачу, и рассматривать всё более частные случаи.

Упрощение 1. Система линейная и стационарная

 То есть система уравнений превращается в систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами

[pic 6]

Такая запись называется записью в форме Коши.

Упрощение 2. Нулевые начальные условия

 На данном этапе принимается, что начальные условия всех переменных состояния равны нулю, то есть [pic 7]. Дальше запись начальных условий опускаем.

Кстати, сейчас можно перейти к более краткой матричной записи уравнений:

[pic 8]

[pic 9]

Здесь - вектора переменных состояния и их производных и вектор входных величин.[pic 10]

A,B,C,D  - матрицы, состоящие из констант. Их размеры   для краткости опускаются. Напоминаем: n  - количество переменных состояния, m - количество входов, k - количество выходов. [pic 11]

Решив систему уравнений, можно найти зависимость любого выхода  от любого входа  в любой момент времени. [pic 12][pic 13]

Переход к преобразованиям Лапласа

Дальше удобнее будет записать ту же самую систему, но в операторной форме. То есть оператор дифференцирования заменится буквой S, которая будет обозначать дифференцирование.

Так как в левой части первого уравнения стоит вектор , его придется преобразовать к виду  , где  - единичная матрица того же размера, что вектор  . Это может показаться сложным, но нужно вспомнить, как умножается матрица на вектор.[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Нужно заметить, что теперь все переменные зависят не от времени, а от переменной S.

Получаем:

[pic 18]

Теперь в первом уравнении можно выразить вектор состояния:

[pic 19]

и далее подставить во второе уравнение:

[pic 20], а затем вынести  за скобку: [pic 21]

[pic 22]

Факт в том, что удалось получить зависимость всех выходов от всех входов, правда, пока в терминах преобразования Лапласа.

Можно обозначить[pic 23] , тогда [pic 24], и матрицу  логично назвать передаточной матрицей системы. [pic 25]

Кстати, эта матрица состоит из скалярных функций  [pic 26]

[pic 27]

Здесь   - передаточная функция от i-го входа к j-ому выходу, то есть [pic 28]

[pic 29]

Таким образом, пришли к определению.

Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы.

Пример передаточной функции:

[pic 30]

Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.