Розвязування систем диф. рівнянь методом Рунге – Кутти 2-го та 4-го порядку

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

ІКТА

кафедра БІТ

[pic 1]

КУРСОВА РОБОТА

з курсу: : «Спеціалізовані методи обчислень для інформаційно-комунікаційних систем»

на тему: «Розвязування систем диф. рівнянь методом Рунге – Кутти 2-го та

4-го порядку»

Виконав: ст. гр.

Прийняв: д.т.н.,

професор кафедри БІТ

Львів  2020

ЗМІСТ

1. Завдання для виконання…………………………………3
2. Теорія методів……………………………………………4
3. Код програми для методу Рунге-Кутти 2-го порядку…8
4. Таблиця результатів для першої програми…………….10
5. Графік зміни величини [pic 2]…………………………….11
6. Код програми для методу Рунге-Кутти 4-го порядку …11
7. Таблиця результатів для другої програми……………...14
8. Графік зміни величини [pic 3]………………….................15
9. Джерела…………………………………………………...16

Завдання для виконання:

Система рівнянь у нормальній формі:

[pic 4]

   =  [pic 5][pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

          Початкові умови:

(0) = 0; [pic 9]

(0) = 0;[pic 10]

(0) = 0;[pic 11]

(0) = 0;[pic 12][pic 13]

Навести таблицю значень [pic 14]. Побудувати графік зміни величини [pic 15]

Теорія методів

1)Метод Рунге-Кутти 2-го порядку

Нехай дано дифференціальне рівняння першого порядку:

[pic 16]

із початковою умовою х=x0, у =у0

За допомогою точки х0 функцию у(х) розкладемо в ряд Тейлора:

[pic 17]

який можна застосувати для наближеного визначення шуканої функції у (х). Для зменшення похибки методу інтегрування диференціального рівняння необхідно враховувати більшу кількість членів ряду. Однак при цьому виникає необхідність апроксимації похідних від правих частин диференціального рівняння.

Основна ідея методів Рунге-Кутти полягає в тому, що похідні апроксимуються через значення функції (х, у) в точках на інтервалі [х0,х0 + h], які вибираються з умови найбільшої близькості алгоритму до ряду Тейлора. Залежно від старшого ступеня h, з якої враховуються члени ряду, побудовані обчислювальні схеми Рунге-Кутти різних порядків точності.

Так, наприклад, загальна форма запису метода Рунге-Кутти другого порядку наступна:

[pic 18]

де [pic 19]

Результат, отриманий по цій схемі, має похибку 0,1.

Для параметра а найбільш частіше використовують значення

[pic 20]

Розглянемо перший варіант метода Рунге-Кутти другого порядку.

При а = 0,5 формула (8.19) має вигляд:

[pic 21]

Формулу (8.20) можна представити у виді наступної схеми:

[pic 22]

Це метод Рунге-Кутти другого порядку (1-й варіант), або виправлений метод Ейлера.

Геометрично процес знаходження точки Х, у можна простежити по рис. 8.4. За методом Ейлера знаходиться точка [x0 + h, y0 + h y’0], що лежить на прямій L. У цій точці знову обчислюється тангенс кута нахилу дотичної (пряма L1). Усереднення двох тангенсів дає пряму L. Проводимо через точку x0, у0 пряму L, паралельну L-. Точка, в якій пряма L перетнеться з ординатою x = х1 = х0 + h буде шуканої точкою x, у.