Методы Рунге-Кутта

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по дисциплине «Вычислительная математика»

по теме «Методы Рунге-Кутта»

Введение

Современное развитие физики и техники тесно связано с использованием в процессе расчётов и проектирования вычислительного оборудования. В основе вычислительного эксперимента лежит решение уравнений математической модели численными методами.

Применение вычислительной техники при этом позволяет автоматизировать процесс нахождения решения (например, при решении систем линейных алгебраических уравнений). Или упростить особенно трудоёмкие процедуры вычисления, уменьшить количество итераций, необходимых для нахождения точного или приближённого решения.  Численные методы решения различных видов уравнений – это алгоритмы нахождения приближённых (а иногда и точных) значений искомого решения.

При изучении самых разнообразных явлений окружающего мира, имеющих отношение как к точным, так и к гуманитарным наукам, исследователи сталкиваются в ряде случаев с тем, что функциональные зависимости между величинами находятся из уравнений, в которых присутствуют производные от искомых функций. Наиболее простыми среди них являются те, что содержат только производные первого порядка и могут быть записаны в виде

[pic 1]

где – искомая функция,  – независимая переменна,  – непрерывная функция от  и y. [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Однако получить аналитическое решение этого уравнения для достаточно произвольной функции не удается, и только для некоторых случаев решение задачи представляется в виде конкретной функции.[pic 6]

Обыкновенные дифференциальные уравнения находят все более широкое применение в математических моделях, разрабатываемых для моделирования процессов и явлений, происходящих в различных областях техники, науки и производства.  Дифференциальное уравнение является необходимым элементом и составной частью многих разрабатываемых математических моделей различных процессов и явлений. Большинство методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений основано на задаче Коши.

Данный курсовой проект посвящен изучению методов Рунге-Кутта для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Цель данной работы – изучить методы Рунге-Кутта с программной реализацией конкретной задачи.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

1) изучить основные понятия методов Рунге-Кутта.

2) сформулировать задачу для дальнейшей программной реализации.

3)выполнить реализацию и тестирование программной реализации поставленной задачи.

Структура курсового проекта отвечает поставленным целям и задачам, а также соответствует методическим указаниям. Курсовой проект состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и двух приложений. В приложение А представлены блок-схемы основной программы. В приложении Б содержится листинг программы.

1. Основные понятия методов Рунге-Кутта

В основе вычисления дифференциальных уравнений зачастую лежат методы численного интегрирования, позволяющие получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи. Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений применяются аналитические, приближенные и численные методы.

Аналитические методы позволяют получать решения дифференциальных уравнений через элементарные или специальные функции в конечном виде и являются эффективным средством исследования уравнений, однако применимы лишь для ограниченного класса дифференциальных уравнений - линейных, с постоянными коэффициентами и др.

Приближенные методы используют различные упрощения исходных уравнений: линеаризацию, разложения в ряд по некоторому малому параметру, асимптотические методы и др. Однако они также имеют ограниченную область применения, хотя и являются эффективным средством исследования решения.

Наиболее мощными и универсальными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений являются численные методы, позволяющие получать решения тогда, когда традиционные, классические, методы не помогают.

Методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений разделяются на два класса: