Метод регуляризации решения неустойчивых систем линейных алгебраических уравнений

Введение

        В математике есть класс задач, которые при малом изменении начальных данных влекут за собой большое изменение решений. Такие задачи являются плохо поставленными, а класс таких задач называется классом некорректно поставленных задач, с неустойчивым к малым изменениям исходных данных решением.         

        В современном мире, когда технологии развиваются большими шагами, когда вычислительная техника используется повсеместно, встает вопрос о развитии вычислительных алгоритмов, используемых для нахождения решения широкого класса задач.

Прежде чем приступать к написанию алгоритмов, следует разобраться, что есть такое «решение» задачи?

        Обычные постановки и концепции приведенных заданий не дают, не отражают тех особенностей, которые могут возникнуть в результате практики. Разберем пример, и попробуем это показать.

        Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

[pic 1]

        Здесь -квадратная матрица с элементами , - известный вектор,  - искомый вектор. [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

        Если в данной системе, определитель матрицы  не равняется нулю, то есть , то система называется невырожденной, имеет лишь одно решение, которое можно найти разными способами, к примеру, методом Крамера.[pic 6][pic 7]

        Если определитель матрицы  равняется нулю, , то система называется вырожденной, имеет множество решений, возможных лишь при соблюдении условия равенства нулю соответствующих определителей.[pic 8][pic 9]

        Поэтому, прежде всего необходимо вычислить определить матрицы ,  или , иными словами, проверить вырожденность матрицы.[pic 10][pic 11][pic 12]

        Обозначим порядок нашей системы буквой , потребуется  операций, чтобы вычислить определитель матрицы . Какую бы точность вычислений мы не использовали для вычисления определителя, если порядок системы   окажется большим, то в результате накопления ошибок, определитель матрицы  будет отличаться как угодно от действительного. Поэтому нужно развить такой алгоритм, решение которого не требовало бы сначала определять вырожденная система или нет.[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

        На практике, не редкость, когда исходные данные, матрица  и вектор  даны приближенно. Тогда, вместо исходной системы, получаем  , такой, что  и , где от постановки задачи будет зависеть и смысл норм. Когда вместо исходной матрицы  мы имеем приближенную матрицу , тем более трудно говорить вырожденная система или нет.[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

        Об исходная системе , являющейся точной системой, нам, в данных случаях известно лишь то, что существуют неравенства  и , которые выполняются для исходных данных ,для матрицы  и вектора . Таких систем, с такими данными, матрицей  и вектором  бесконечно много, и в заданных условиях погрешности они неразличимы и могут быть невырожденными.[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

        Так как система  задана приближенно, т.е. имеет вид  то и решение, соответственно будет приближенным. Найденное приближенное решение так же должно быть устойчивым к малым изменениям матрицы   и вектора .[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

        Одно из понятий, которое будет приведенное в данной работе, и будет необходимо для раскрытия темы дипломной работы, является понятие нормального решения системы .[pic 36]

В дипломной работе основной задачей является нахождение приближенного решения , где исходные данные  заданы приближенно. Если система является хорошо обусловленной, то решение системы не составит труда, так как приближенное решение системы  будет близко к точному решению системы . В случае, когда система  является некорректной, т.е. близость приближенной матрицы  к исходной матрице , и приближенного вектора  к исходному вектору  не означает того, что решение приближенной системы  будет также близко к решению исходной системы .[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]