Знание решений дифференциальных уравнений с функцией скорости изменения: путевые точки в путешествии

Знание решений дифференциальных уравнений с функцией скорости изменения: путевые точки в путешествии

Chris Rasmussen, Karen Keene

Ключевые слова: Скорость изменения, прогресс обучения, дифференциальные уравнения, функция, студенческие рассуждения

Абстракт.В этой статье мы проиллюстрируем пять качественно различных способов, которыми студенты могут рассуждать о скорости изменения в качестве концептуального инструмента для графического определения решений автономных дифференциальных уравнений первого порядка. Эти пять различных способов рассуждения о скорости изменения предлагают эмпирически обоснованный теоретический отчет о точках, через которые рассуждение студента может продвигаться все более сложными путями. Термин "путевая точка" заимствован из литературы по прогрессу обучения, которая стремится выявить концептуальные ориентиры, отличающие способы рассуждения, которые учащиеся, вероятно, будут использовать при выполнении математических задач и решении задач. Для каждой путевой точки мы приводим иллюстративный пример, связанную задачу и цель, типичные надписи, которые студенты используют в качестве источника для рассуждений о скорости изменения, и типичные целевые надписи, которые студенты используют для описания решений. Статья завершается выводом о последствиях для исследований и разработки учебных программ.

Достижения в области технологий, повышенный интерес к моделированию, качественным / графическим подходам и растущий интерес к ориентированному на исследование обучению (Artigue & Blomhøj, 2013; Автор; Ludwig, Abell, Soto, Braddy, & Ensley, 2018) вызывают значительные изменения в обучении и преподавании математики в бакалавриате в целом и дифференциальных уравнений в частности (автор; Habre, 2013). Информирование и руководство этими изменениями-это эмпирически и теоретически обоснованные объяснения того, как студенты развивают и используют конкретные математические идеи. Цель этого доклада-подробно описать пять качественно различных способов, с помощью которых студенты могут рассуждать о скорости изменения в качестве концептуального инструмента для графического определения решений автономных дифференциальных уравнений первого порядка.

Идентификация этих пяти различных способов рассуждения со скоростью изменения как концептуального инструмента выросла из многолетних исследований, основанных на классах, исследующих основополагающие процессы обучения и преподавания (например, Автор; Автор; Автор; Автор; Автор; Автор; Marrongelle, 2007). Эта работа также привела к разработке научно обоснованной учебной программы по дифференциальным уравнениям на один семестр (автор). Общая цель обучения, подчеркнутая в этой учебной программе, заключается в том, чтобы студенты развивали навыки использования аналитических, графических/качественных и численных подходов для понимания поведения, природы и структуры решений и пространств решений. Внимательное слушание рассуждений студентов в наших проектных аудиториях повысило наше понимание того, что концептуальная основа для достижения этой всеобъемлющей цели неразрывно связана с рассуждениями со скоростью изменения качественно различными способами. В ретроспективе это может показаться очевидным, потому что дифференциальные уравнения являются уравнениями скорости изменения; однако мы подозреваем, что большинство студентов, прошедших традиционный курс, основанный на анализе, скажут вам, что то, чему они научились, имеет мало или вообще ничего общего с темпом изменений. Действительно, если цель состоит в том, чтобы изучить дюжину или более аналитических методов для нахождения решений в закрытой форме хорошо поставленных проблем, то нет никакой необходимости или мотивации даже думать о скорости изменения. С точки зрения динамических систем,однако, скорость изменения-это механизм, который позволяет студентам предсказывать, как функции решения разворачиваются во времени. С точки зрения динамических систем дифференциальное уравнение выражает временную скорость изменения величины и является источником или средством, с помощью которого можно определить, как разворачиваются решения, являющиеся функциями времени. В отличие от традиционных подходов к дифференциальным уравнениям, которые отдают предпочтение аналитическим методам и не подчеркивают, что решения являются функциями времени, динамический системный подход подчеркивает численный и графический подходы, которые стремятся охарактеризовать поведение решений. Гипотетические способы, с помощью которых учащиеся рассуждают о скорости изменения, представленные здесь, предлагают структуру и прогрессию для того, как учащиеся могут графически предсказывать решения дифференциальных уравнений, используя скорость изменения в качестве концептуального инструмента. Значение этой работы заключается в том, каким образом эта эмпирически обоснованная теоретическая структура рассуждений студентов может стать ступенькой для других. Например, путевые точки предлагают исследователям, преподавателям, экспертам по оценке и разработчикам учебных программ рамки для исследования, прогнозирования и оценки рассуждений учащихся, а также для разработки учебных последовательностей для поддержки математического прогресса учащихся. В разделе Обсуждения мы подробно остановимся на этих последствиях.