Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Автор: Gameover • Ноябрь 17, 2021 • Лабораторная работа • 765 Слов (4 Страниц) • 326 Просмотры
Лабораторная работа
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Пусть требуется найти решение задачи Коши:
[pic 1], a ≤ x ≤ b, [pic 2]. (1)
На отрезке [a,b] зададим конечное множество точек [pic 3] [pic 4]. Будем искать приближенное решение задачи (1) в выбранных точках xi.
Метод Эйлера
В методе Эйлера приближенные значения искомой функции yi ≈ y(xi) вычисляются последовательно по формуле:
[pic 5], [pic 6][pic 7],
где hi = xi+1 – xi.
Остаточный член на каждом шаге в методе Эйлера -О(h2), а суммарный остаток- О(h).
Исправленный метод Эйлера (метод трапеций)
[pic 8].
Остаточный член на каждом шаге в исправленном методе Эйлера -О(h3), а суммарный остаток- О(h2).
Модифицированный метод Эйлера
[pic 9]
Остаточный член на каждом шаге в модифицированном методе Эйлера -О(h3), а суммарный остаток- О(h2).
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка состоит в следующей последовательности вычислений:
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13] [pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
Включение цепи с резистором и конденсатором на синусоидальное напряжение
[pic 17]
Рисунок 1
Напряжение источника изменяется по закону
u = Um sin(ωt + ψ).
Дифференциальное уравнение на основе 2-го закона Кирхгофа
[pic 18]
Напряжение на конденсаторе (точное решение)
где: - полное сопротивление цепи;
XC = 1 / (ωC) – емкостное сопротивление;
φ = -arctg(XC / R) – угол сдвига фаз между установившимся током в цепи и приложенным синусоидальным напряжением; τ = RC.
Ток в цепи
.
Решение поставленной задачи в среде MathCad
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА y'=f(x,y) МЕТОДАМИ ЭЙЛЕРА
[pic 19] Схема цепи
[pic 20] [pic 21] [pic 22] [pic 23] [pic 24] [pic 25]
[pic 26] Напряжение источника
[pic 27] [pic 28] [pic 29]
[pic 30]
Точное решение для напряжения
[pic 31]
Точное решение для тока
[pic 32]
[pic 33] Левая часть дифференциального уравнения
[pic 34] Число точек решения N
[pic 35] Отрезок интегрирования
[pic 36] Шаг интегрирования h [pic 37]
[pic 38] [pic 39] [pic 40] [pic 41] Начальное условие
...