Толық ықтималдық формуласы. Бейес формуласы

14-дәріс.    Толық ықтималдық формуласы. Бейес формуласы

Егер А оқиғасы өзара үйлесімсіз, толық топ құрайтын В1,В2,...,Вn оқиғаларының біреуімен бірге пайда болса, онда А оқиғасының ықтималдығы

[pic 1]

толық ықтималдық формуласымен анықталады, мұндағы

[pic 2] - шартты ықтималдықтар.

1-мысал.    №1-ші 5 жәшікте 3 ақ және 7 қара; №2-ші 7 жәшікте 2 ақ және 8 қара; №3-ші 3 жәшікте 4 ақ және 6 қара шар бар. Алдымен кез келген жәшік алынып, содан кейін одан бір шар алынды. Осы шардың ақ болу ықтималдығын табу керек.

Шешуі. А – шардың ақ болу оқиғасы, Ві – і-ші жәшіктен алу оқиғасы, і=1,2,3. барлық жәшіктің саны 15.

[pic 3]

Осыдан      

[pic 4]

А оқиғасы өзара үйлесімсіз, толық топ құрайтын В1, В2,...,Вn оқиғаларының біреуімен бірге пайда болсын. Тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы пайда болсын. Бұл жағдайда А оқиғасы пайда болғаннан кейінгі В1, В2,...,Вn оқиғаларының ықтималдықтары

[pic 5] 

Бейес формуласымен анықталады.

2-мысал.     Топта 10 шаңғышы, 8 велосипедші, 6 желаяқтар бар. Квалификациялық  нормасын орындау  ықтималдығы шаңғышы үшін - 0,8;   велосипедші үшін – 0,9;   желаяқ үшін - 0,7-ге тең.  Таңдап алынған спортшы квалификациялық  норманы орындады. Осы спортшының шаңғышы болу ықтималдығын тап.

   Шешуі.  А1 оқиғасы – «таңдап алынған спортшының квалификациялық  норманы орындауы».         В1 оқиғасы – «спортшының шаңғышы болуы»,  В2 оқиғасы – «спортшының велосипедші болуы», В3 оқиғасы – «спортшының желаяқ болуы». Онда

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Осыдан спортшының шаңғышы болу ықтималдығы Бейес формуласымен есетеледі, яғни [pic 9]

Қайталанатын тәжірибелер

Нәтижесінде тәуелсіз оқиғалар пайда болатын тәжірибелер тәуелсіз тәжірибелер деп аталады. Екі ғана нәтижесі бар тәуелсіз тәжірибелерді қарастырайық.

Мысалы, тиын лақтыру, детальдардың стандарттығын тексеру, бұйымның сапасын тексеру және т.б.

Жалпы жағдайда, екі нәтижені “А оқиғасы пайда болады” және “А оқиғасы пайда болмайды” деп айтамыз да, сәйкесінше А, Ā таңбаларын қолданамыз. Бұл оқиғалар қарама-қарсы оқиғалар болғандықтан, олардың ықтималдықтары [pic 10] және [pic 11] деп белгіленеді, мұндағы р – бір тәжірибеден екінші тәжірибеге көшкенде өзгермесін.

Бернулли формуласы.  n  тәуелсіз сынақта ықтималдығы тұрақты  А оқиғасының  m рет пайда болу ықтималдығы мына формуламен анықталады

[pic 12]

Бұл формула Бернулли формуласы деп аталады.

Бернулли формуласын пайдаланып тәуелсіз n тәжірибеден А оқиғасының:

а) k –дан кем рет пайда болуының ықтималдығы

[pic 13] 

ә) k –дан артық рет пайда болуының ықтималдығы

[pic 14]

б) k –дан артық емес рет пайда болуының ықтималдығы

[pic 15] 

в) k –дан кем емес (немесе кем дегенде k ) рет пайда болуының ықтималдығы [pic 16] 

г) k1-ден артық және k2-ден кем рет [pic 17] пайда болуының ықтималдығы [pic 18]

3-мысал. Цехта 7 мотор бар. Әрбір мотордың жұмыс істеу ықтималдығы [pic 19]ге тең. Төмендегі берілген оқиғалардың ықтималдықтарын табу керек: а) барлық моторлар жұмыс жасайды;