Теория игр

1. Аналитический метод решения матричной игры [2х2] и его обоснование.

Рассмотрим игру без седловой точки типа 2 х 2 с платежной матрицей

[pic 1]

и найдем оптимальную стратегию

[pic 2]

игрока А. Эта стратегия обеспечивает игроку А выигрыш, равный цене игры V, даже если игрок В не выходит за пределы своих полезных стратегий. В данной игре обе чистые стратегии игрока В являются полезными, поскольку в противном случае игра имела бы решение в области чистых стратегий, т.е. была бы игрой с седловой точкой.

Отсюда вытекает, что неизвестные [pic 3][pic 4] удовлетворяют следующей системе из трех линейных уравнений

[pic 5]

решение которой имеет вид

[pic 6]

Аналогичным образом можно найти оптимальную стратегию

[pic 7]

игрока В. В этом случае неизвестные [pic 8][pic 9] удовлетворяют системе уравнений

[pic 10]

решение которой имеет вид

[pic 11]

1. Биматричная бескоалиционная игра. Равновесие по Нэшу. Геометрический метод решения биматричной бескоалиционной игры.

Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)

Бескоалиционные игры являются играми более общей природы. Бескоалиционность понимается в том смысле, что группам игроков (“коалициям”) не приписывается ни каких-либо интересов, за исключением тех, которые вытекают из интересов отдельных игроков. Целью каждого игрока в такой игре является только получение по возможности наибольшего индивидуального выигрыша.

Конечная бескоалиционная игра двух игроков с ненулевой суммой называется биматричной игрой.

Ситуация в игре, приемлемая для всех игроков, называется ситуацией равновесия по Нэшу (равновесной ситуацией).

В теории игр равновесием Нэша (названным в честь Джона Форбса Нэша, который предложил его) называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша.

Из определения видно, что в ситуациях равновесия и только в них ни один игрок не заинтересован в отклонении от своей стратегии. В частности, если ситуация равновесия оказывается предметом договора между игроками, то ни один из игроков не будет заинтересован в нарушении своих обязательств. Наоборот, если в договоре зафиксирована неравновесная ситуация., то по определению найдется хотя бы один игрок, который будет заинтересован в отклонении от нее и тем самым — в нарушении этого договора.

Равновесной стратегией игрока в бескоалиционной игре называется такая его стратегия, которая входит хотя бы в одну из ситуаций равновесия игры.

Cуществует очень простой и наглядный способ поиска оптимальных смешанных стратегий в матричных играх, где один из игроков имеет только две стратегии. Он основан на графическом представлении системы вышеприведенных уравнений.

Предположим, что игра задана матрицей

[pic 12]

и игрок А имеет возможность выбирать между двумя стратегиями с вероятностями u1 и u2=1-u1 , а игрок В имеет три чистые стратегии. Тогда, на основании теоремы 4, ожидаемые выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, примут вид