Системы линейных уравнений. Линейные пространства

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Смоленский государственный университет

Кафедра прикладной математики

КУРСОВОЙ РАСЧЕТНЫЙ ПРОЕКТ

по теме «Системы линейных уравнений. Линейные пространства»

Выполнила студентка 1 курса - 11ПМИ

Куден Арина Владимировна

Проверил: доцент каф.прикладной математики Шатохин Н.Л.

Смоленск

2015

Задание №1.

Исследовать совместность данной системы и, в случае совместности, найти её решение методом Гаусса и указать общее решение.

[pic 1]

Решение:

1. Составим расширенную матрицу данной системы линейный уравнений и с помощью метода элементарных преобразований будем находить ранги матрицы системы.

[pic 2]

~[pic 3][pic 4]

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатой форме. Если матрица приведена к ступенчатой форме, то ранг ее равен количеству ненулевых строк. Следовательно, rang(A)=4 – ранг матрицы системы и rang(B)=4 – ранг расширенной матрицы.

Так как система содержит n=5 (кол-во строк), т.е. rang(A)=rang(B)

1.  Решение системы методом Гаусса приведено выше, следовательно:

                            [pic 5]

Ответ: [pic 6]

Задание №2.

Найти какую-нибудь ФСР и общее решение данной ОСЛАУ. Указать размерность подпространства решений этой системы.

[pic 7]

Решение:

1. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы:

А=[pic 8]

[pic 9]

Rg(A)=1, n=4 (Rg

Получаем, что:  x1 – базисная переменная

                            x2,x3,x4 –свободные переменные

Выражаем свободную переменную через базисные:

 [pic 10]

Количество ФСР: n-r=4-1=3 (это число равняется количеству свободных переменных)

1. Рассмотрим первую ситуацию, если x2=1, x3=0, x4=0

                           [pic 11][pic 12]

1. Рассмотрим вторую ситуацию, если x2=0, x3=1, x4=0

                           [pic 13][pic 14]

1. Рассмотрим третью ситуацию, если x2=0, x3=0, x4=1

                             [pic 15][pic 16]

1. ФСР={}[pic 17]
2. Общим решением является линейная комбинация частных решений:

,[pic 18]

где [pic 19]

Ответ: 1) ФСР={}[pic 20]

                       2) ,     [pic 21][pic 22]

Задание №3.

Проверить, является ли система векторов , базисом в линейном пространстве R4.[pic 23][pic 24]

(-1,0,3,-3), [pic 25][pic 26]

Решение:

Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:

[pic 27]

Перепишем векторное  уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса

[pic 28]

Отсюда следует, что:

[pic 29]

Данная система векторов образует базис (линейно независимая система векторов), так как все xi=0

Задание №4.

Составить ОСЛАУ множество решений которой совпадает с линейной оболочкой  L{ } образованной векторами [pic 30][pic 31]

[pic 32]

Решение:

Запишем матрицу из координат данных векторов и приведем её к ступенчатому виду:

~[pic 33][pic 34]

Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:

[pic 35]

Запишем СЛАУ:

[pic 36]

Запишем данную СЛАУ в виде матрицы:

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Запишем строки с нулями в систему, приведя подобные: