Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей

3.4 Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей

При выполнении заданий этого раздела придерживайтесь следующего плана.

1. Для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

[pic 1]                                        (1)

запишите ее матрицу [pic 2] и найдите ее определитель:

[pic 3]

Если [pic 4] то система определенна и ее единственное решение следует найти по формулам Крамера:

[pic 5]

где определители:

[pic 6]         [pic 7]         [pic 8]

получаются из определителя [pic 9] матрицы [pic 10] заменой столбцов коэффициентов при неизвестных [pic 11], соответственно, на столбец свободных членов.

Если окажется, что [pic 12], но при этом какой-либо минор второго порядка матрицы [pic 13] отличен от нуля, найдите определитель [pic 14] Если окажется, что этот определитель не равен нулю, то система (1) по теореме Кронекера-Капелли несовместна.

Если же этот определитель равен нулю, то система (1) равносильна системе, состоящей из двух ее уравнений, номера которых в системе (1) совпадают с номерами базисных строк матрицы [pic 15].

Действительно, пусть, например, [pic 16]Тогда первая и вторая строка матрицы [pic 17]являются базисными. Для того, чтобы убедиться в равносильности системы (1) и системы:

[pic 18],                                        (2)

разложим определитель [pic 19] по элементам третьего столбца. Получим:

[pic 20]

откуда [pic 21] где:

[pic 22][pic 23]

Использовав равенства:

[pic 24]         [pic 25]         [pic 26]

и разлагая эти определители по  элементам третьего столбца, мы получим, что

[pic 27]

Поэтому для решения [pic 28]системы (2)

[pic 29]

что и доказывает равносильность систем (1) и (2).

Для того, чтобы найти решения системы (1), нужно в равносильной ей системе двух уравнений одно неизвестное сделать свободным и воспользоваться правилом  Крамера.

Если же все миноры второго порядка матрицы [pic 30] будут равны нулю, то система (1) будет совместна лишь в том случае, если она равносильна одному (любому) из  своих трех уравнений. Для того чтобы найти решения системы (1) в этом случае, нужно в уравнении, равносильном системе (1), два неизвестных сделать свободными и выразить через них третье неизвестное.

Задание 1.  Найти все решение систем линейных уравнений  с помощью определителей.

1) [pic 31]                2) [pic 32]

3) [pic 33]                4) [pic 34]

5) [pic 35]

2.2.

1)    4x-y+2z=0,[pic 36]

        -x+3y-4z=2,  

       2x+5y-6z=2.

[pic 37]

3)    2x+3y+4z=15,

        x-y+2z=5.

        3x+2y+z=0.

[pic 38]

2)    x-4y+5z=2,[pic 39]

        3x+y-4z= -1,

        2x+5y+9z= -3.

[pic 40]

4)     2x+5y-z=0,

        x-3y+2z= 0,

        3x+2y+z=0.

5)     x-y+3z=0,

        2y-z=0,

        x+y+4z=0.

2.3.

1)    2x-y+z=0,[pic 41]

        x+3y-2z=1,  

       4x+5y-3z=1.

[pic 42]

3)    x-2y+z=-9,

        3x+y-2z=16.

        2x-y+2z=6.

[pic 43]

2)    2x+z=2,[pic 44]

        -y+3z= -1,

        2x-2y+7z= 0.