Ряды Фурье

Задание 1.2

Разложить в ряд Фурье [pic 1]

Решение

Ряд Фурье для функции [pic 2] определенной на интервале [pic 3] записывается в виде [pic 4], где [pic 5], где [pic 6]

Вычислим коэффициенты ряда Фурье

В данном случае [pic 7]

Перед вычислением коэффициентов Фурье вычислим вспомогательные интегралы

[pic 8]Параметр [pic 9]

[pic 10]

Тогда, [pic 11]

Отметим, что [pic 12] и

[pic 13]

Значит,

[pic 14]

[pic 15]

Задание 2.2

Разложить в ряд Фурье функцию [pic 16] заданную на интервале [pic 17][pic 18], продолжив (доопределив) ее четным и нечетным образом. Построить график для каждого продолжения

Решение

Перед выполнением задания вычислим неопределенные интегралы

[pic 19]

Найдем разложение по синусам

Ряд Фурье для нечетной функции [pic 20] определенной на интервале [pic 21] записывается в виде [pic 22], где [pic 23],

Вычислим коэффициенты ряда Фурье

[pic 24]

Значит, [pic 25]

Согласно теореме суммы тригонометрического ряда Фурье, которая формулируется следующим образом: если [pic 26] - сумма тригонометрического ряда Фурье функции [pic 27], т во всех точках непрерывности [pic 28], а во всех точках разрыва [pic 29]. То есть [pic 30]

Изобразим график нечетного продолжения

[pic 31]

Сделаем чертеж суммы ряда Фурье

[pic 32]

Ряд Фурье для четной функции [pic 33] определенной на интервале [pic 34] записывается в виде [pic 35], где [pic 36]

Вычислим коэффициенты ряда Фурье

[pic 37]

Значит, [pic 38]

Согласно теореме суммы тригонометрического ряда Фурье, которая формулируется следующим образом: если [pic 39] - сумма тригонометрического ряда Фурье функции [pic 40], т во всех точках непрерывности [pic 41], а во всех точках разрыва [pic 42]. То есть [pic 43]