Применение функций Вейерштрасса для интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений

СЛАЙД 1. Уважаемый председатель, уважаемые члены аттестационной комиссии Вашему вниманию предоставляется дипломная работа на тему «Применение функций Вейерштрасса для интегрирования нелинейных дифференциальных  уравнений » написанную Ф.И.О. на кафедре прикладной математики и мат. моделирования под руководством кандидата физ.-мат. наук Редькиной Т.В.

Создание новых пористых и волокнистых композитных материалов с наперед заданными физико-механическими свойствами является актуальной проблемой на сегодняшний день.

 В таких материалах продольные и поперечные диффузионные свойства, свойства теплопроводности весьма различны, и моделирование, которое применялось к сплошным телам не отражает реальной структуры, представляется целесообразной разработка более точной модели. Их рациональное использование требует развития моделей и методов для описания их физико-механических свойств и законов деформирования.

СЛАЙД 2. В работе была поставлена следующая ЦЕЛЬ:

Исследовать нелинейное уравнение в частных производных, являющееся моделью процессов в средах с нелинейной диффузией.

Получить точные решения.

• СЛАЙД 3. Для достижения  данной цели были определены следующие ЗАДАЧИ: Проанализировать имеющуюся научную литературу по проблеме исследования, построить автомодельное решение для исследуемого уравнения и найти решения нелинейного уравнения в частных производных в виде функции Вейерштрасса.

СЛАЙД 4.  В первой главе изучаются известные модели диффузионных процессов: уравнение Колмогорова – Петровского – Пискунова

[pic 1]

уравнение Зельдовича                                 [pic 2]

уравнение Семенова, уравнение типа «реакция – диффузия»

  [pic 3]

и их основные свойства. Которые вы видите на слайде.

Вторая глава посвящена теории построения функций Вейерштрасса и выводу основных свойств. И третья глава посвящена нахождению решений нелинейного уравнения в частных производных в виде функции Вейерштрасса        .

СЛАЙД 5. Пара Лакса для нелинейного уравнения диффузии

Уравнение

[pic 4]                                          (1)

где [pic 5] - произвольная постоянная, [pic 6] - функция трех независимых переменных, Δ - оператор Лапласа, является элементом ряда моделей процессов в средах с нелинейной диффузией. Одной из характерных ситуацией, в которых встречается уравнение (1), является перенос пассивной примеси, например тепла в турбулентной среде с нелинейным турбулентным коэффициентом теплопроводности. Рассмотрим одномерный случай

[pic 7]                        (2)

где [pic 8] - произвольные постоянные, [pic 9] - функция двух независимых переменных, [pic 10] - произвольная функция, обладающий парой Лакса

Lt = [L, A] =LA - AL,                                        (3)

с дифференциальными операторами  L,  A  вида

        [pic 11]         [pic 12].(4)

В силу этого, исследуемое уравнение обладает рядом свойств присущих уравнениям солитонного типа.

СЛАЙД 6. Нахождение решений нелинейного уравнения в частных производных в виде функции Вейерштрасса