Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения

«Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения»

Вариант№9

Задание №1

Найти производные данных функций[pic 1]

а)y=x*    б) y=arctgx);       в) y=(cosx[pic 2][pic 3][pic 4]

а) y=x*[pic 5]

Применим правило дифференцирования произведения двух функций

(fg)’=f’g+fg’, частного двух функций (, дифференцирования сложной функции f(g(x))’=f’(g(x))*g’(x)? получаем:                                       [pic 6]

y’=(x*)=x’* + x*()= +x*( *)  = +x*( *)= +( *)                   [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Ответ:= +( *)                   [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

Б) y=arctgx);[pic 25]

по правилу дифференцирования сложной функции (𝑓(𝑔(𝑥))’=𝑓’(𝑔(𝑥))⋅𝑔′(𝑥) получаем;

 𝑦′=(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑡))′                                                                        [pic 26]

поскольку:

(𝑡=                                                                                [pic 27][pic 28]

получаем:

[pic 29]

Ответ:-[pic 30]

в) y=(cosx[pic 31]

Применим логарифмическое дифференцирование. Прологарифмируем обе части уравнения:

                                                                                [pic 32]

Теперь дифференцируем обе части равенства, учитывая при этом , что yявляется функцией от х:

=2x2x                                          [pic 33][pic 34][pic 35]

Отсюда получаем искомую производную:

y’=(2x                                                                        [pic 36][pic 37]

Ответ: =(2x[pic 38][pic 39][pic 40]

Задание2

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график, используя результаты исследования.

y=[pic 41]

Изучение заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить в следующем порядке:

 1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

 4. Найти точки пересечения с осями координат.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

 6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

 7. Найти асимптоты графика функции.

8. При необходимости найти некоторые дополнительные точки, уточняющие график функции.

 9. Построить график на основе проведенного исследования.

1. Найти область определения функции:

Функция определена для всех действительных значений аргумента, так как аргумент логарифма 2.[pic 42]

𝑥∈(−∞;+∞).

При этом , так как 3→.Это значит, что график находится выше оси OX.[pic 43][pic 44]

2. Исследовать функцию на четность – нечетность

Проверим условия четности:

y(-x)===y(x)                                                                [pic 45][pic 46]

Следовательно , функция четная, значит ее график симметричный относительно оси oy.Поэтому достаточно провести исследование для      х∈(0; +∞).

3.Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

x=0; y==[pic 47][pic 48]

y≠0

Т.о график пересекает ось oy в точке(0:, ось ox не пересекает.[pic 49]

4.Асимптоты графика.

Так как функция непрерывная, то вертикальных асимптот нет.

Наклонная асимптота имеет вид :

y=kx+b

где,

k=====0[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

b= k=[pic 54]

Следовательно наклонных асимптот нет.

 5. Исследуем функцию на экстремум.

Находим критические точки

y’(x)=([pic 55]

[pic 56]

Очевидно , что производная существует всюду в области определения.Т.о есть одна точка возможного экстремума. Вычислим значение функции в этой точке