Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

 «Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений»

по дисциплине "Вычислительная математика"

Вариант 7

Цель работы

Научится решать обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) методами Эйлера и Рунге-Куттас помощью ЭВМ.

Содержание работы

1. Изучить методы Эйлера и Рунге-Кутта для приближенного решения ОДУ.
2. На конкретном примере усвоить порядок решения ОДУ указанными методами с помощью ЭВМ.
3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс приближенного решения ОДУ указанными методами.
4. Сделать вывод о точности используемых методов.
5. Составить отчёт о проделанной работе.

Задание

1. Аналитически решить задачу Коши вида:

 (1)[pic 1]

                               (2)[pic 2]

1. Записать рабочие формулы метода Эйлера, метода Рунге-Кутта и метода Адамса для численного решения уравнения (1) при начальном условии (2) на отрезке:

[pic 3]

1. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные процессы.

Выполнение

        Аналитическое решение        

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Получили общее решение дифференциального уравнения (1). Константу с получим из начального условия (2):

[pic 9]

Точное решение:

[pic 10]

Метод Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием (задача Коши)

                            (3)[pic 11]

и выполняются условия существования т единственности решения.

Теорема Пиккара (теорема о существовании и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (3) функция непрерывна в прямоугольнике и удовлетворяет в условию Липшица: , где N–константа Липшица, то существует единственное решение , уравнения (3) удовлетворяющее условию где в D.[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

           Требуется найти решение  задачи Коши (3).[pic 19]

           Выбрав шаг  достаточно малый, равный строим систему равноотстоящих точек         [pic 20][pic 21][pic 22]

           Получим формулу Эйлера:

(4)[pic 23]

Вычисление значений осуществляется с использованием формулы (4) следующим образом. По заданным начальным условиям , пологая в выражении (4), вычисляется значение[pic 24][pic 25][pic 26]

.[pic 27]

          Далее, определяя значение аргумента  по формуле , используя найденное значение  и полагая в формуле (4)  , вычисляем следующее приближенное значение интегральной кривой [pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

.[pic 33]

Поступая аналогичным образом при , определяем все остальные значения , в том числе последнее значение , которое соответствует значению аргумента .[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

Запишем разложение  в ряд Тейлора:[pic 38]

          (5)[pic 39]

Учитывая формулы (4) и (5) получим

.                    (6)[pic 40]

Соотношение (6) может быть использовано для выбора шага . Как правило, шаг  выбирают таким образом, чтобы , где  заданная точность.[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

Метод Эйлера для рассматриваемого примера