Пределы функций

Тема 1. Пределы функций

1. Вычислить пределы:

а) [pic 1];

б) [pic 2];

в) [pic 3].

        Решение.

        а) [pic 4][pic 5].

        Для раскрытия неопределённости вида [pic 6] разделим числитель и знаменатель на  наивысшую степень аргумента, присутствующую в дроби, то есть на [pic 7]:

[pic 8]

        б) [pic 9][pic 10].

        Преобразуем неопределённость вида [pic 11] к неопределённости вида [pic 12], а затем используем эквивалентные бесконечно малые функции:

[pic 13]

        в) [pic 14]= [pic 15][pic 16].

        Для раскрытия неопределённости преобразуем предел так, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом  [pic 17]:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]Второй замечательный предел[pic 21].

        Тема 2. Основы дифференцирования

Найти производную сложной функции.

[pic 22].

        Решение.

        Используем правило дифференцирования сложной функции:

[pic 23].

        Используя свойства производной, получим:

[pic 24].

        По таблице производных находим:

[pic 25].

        Используя последовательно правило дифференцирования сложной функции, свойства производной и таблицу производных, получаем:

[pic 26]

        Окончательно запишем:

[pic 27].

Тема 3. Исследование функций

Исследовать функцию и построить ее график.

[pic 28]

1. Область определения данной функции: [pic 29]. Так как функция неопределенна в точке х = -1
2. Точки пересечения с осями.

Пересечение с осью Оу: при х = 0: [pic 30]

Пересечение с осью Оx: y=0 при х = 0

1. [pic 31] [pic 32],.Следовательно, функция общего вида.
2. Приступим теперь к отысканию точек экстремума данной функции и участков ее монотонности. Вычислим сначала ее производную:

[pic 33]

Решая уравнение [pic 34], получим:

[pic 35],

Критические точки и точка разрыва разбивают область определения функции на четыре части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:

[pic 36]

Следовательно, функция возрастает на интервале  [pic 37], функция убывает на интервале - [pic 38]

Точка  максимума х=-4

[pic 39] точка максимума А1 (-4; -9.5)

Точка минимума х = 0

 [pic 40] - точка минимума А (0; 0)

1. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем вторую производную функции и критические точки второго рода. Имеем:

[pic 41]

Решая уравнение [pic 42], получим:

[pic 43],

Критическая точка и точка разрыва разбивает область определения функции на части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:

[pic 44]

Следовательно, график функции выпуклый на интервале  [pic 45], график функции вогнутый на интервале [pic 46].

Точек  перегиба нет.

1. Найдем все асимптоты графика данной функции.

Функция не определена при  [pic 47], следовательно, это точка разрыва. Проверим на наличие вертикальных асимптот, найдем односторонние пределы в этой точке:

1. [pic 48]                [pic 49]

Следовательно, х = -1 вертикальная асимптота.